3.10-bo'lim : Yashirin farqlash
1. \(\displaystyle \frac{x}{{{y^3}}} = 1\) uchun quyidagi amallarning har birini bajaring.
- Y uchun tenglamani yechish va to'g'ridan-to'g'ri farqlash orqali \(y'\) ni toping.
- Yashirin farqlash orqali \(y'\) ni toping.
- (a) va (b) dagi hosilalar bir xil ekanligini tekshiring.
Yechim
Birinchidan, biz faqat \(y\) uchun tenglamani hal qilishimiz kerak.
\[{y^3} = x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,y = {x^{\frac{1}{3}}}\]2-qadam
Endi \(x\) ga nisbatan farqlang.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y' = {\textstyle{1 \over 3}}{x^{ - \,\,\frac{2}{3}}}}}\]Yechim
Birinchidan, biz \(x\)ga nisbatan hamma narsaning hosilasini olishimiz kerak va biz \(y\) haqiqatan ham \(y\left( x \right)\) ekanligini esga olishimiz kerak, shuning uchun biz \(y\) ishtirokidagi atamalarning hosilasini olishda zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak.
Bundan tashqari, lotinni olishdan oldin biroz qayta yozish buni biroz osonlashtirishi mumkin.
\[x\,{y^{ - 3}} = 1\]Endi lotinni oling va unutmangki, bizda aslida \(x\) funksiyalari mahsuloti bor va shuning uchun chap tomonni farqlashda mahsulot qoidasidan foydalanishimiz kerak.
\[{y^{ - 3}} - 3x\,{y^{ - 4}}y' = 0\]2-qadam
Va nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni \(y'\) uchun hal qilishdir.
\[y' = \frac{{{y^{ - 3}}}}{{3x{y^{ - 4}}}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{y}{{3x}}}}\]c (a) va (b) dagi hosilalar bir xil ekanligini tekshiring. Yechim
Kimdan (a) bizda \(x\) funksiyasi sifatida aniq yozilgan \(y\) formulasi bor, shuning uchun uni biz topgan lotinga ulang. (b) va biroz soddalashtirish/ishlash bilan biz kiritganimizdek hosila olishimizni ko'rsating (a).
\[y' = \frac{y}{{3x}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{{3x}} = {\textstyle{1 \over 3}}{x^{ - \,\,\frac{2}{3}}}\]Shunday qilib, biz xuddi shunday hosila oldik.