3.12-bo'lim : Yuqori tartibli hosilalar
11. \(6y - x{y^2} = 1\) ning ikkinchi hosilasini aniqlang
Yechim
Bu muammoga ikkita hosila olishdan boshqa ko'p narsa yo'q, shuning uchun biz ikkinchi darajaga etgunimizcha, har bir qadam har bir keyingi hosilani ko'rsatadi. Shunga qaramay, biz qilishimiz kerakligiga e'tibor bering bilvosita farqlash har bir hosilani bajarish uchun.
Mana birinchi hosila uchun ish. Agar sizga yashirin farqlash bo'yicha yangilanish kerak bo'lsa, o'sha bo'limga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni tekshiring.
\[\begin{align*}6y' - {y^2} - 2xy\,y' & = 0\\ \left( {6 - 2xy} \right)y' & = {y^2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y' = \frac{{{y^2}}}{{6 - 2xy}}\end{align*}\]2-qadam
Endi ikkinchi hosila ham yashirin farqlashni talab qiladi. Shuni ham yodda tutingki, biz birinchi hosila bilan hozirgi shaklda ishlashimiz mumkin, bu esa bo'lim qoidasini talab qiladi yoki uni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
\[y' = {y^2}{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 1}}\]va mahsulot qoidasidan foydalaning.
Bular etarlicha chalkash bo'lib qoladi, shuning uchun biz "chalkashlik" ni biroz kamaytirishga harakat qilish uchun mahsulot qoidasiga amal qilamiz. Birinchi hosilaning hosilasini olish uchun yashirin differentsiatsiyadan foydalanish,
\[y'' = \frac{d}{{dx}}\left( {y'} \right) = 2y\,y'{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 1}} - {y^2}{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 2}}\left( { - 2y - 2xy'} \right)\]3-qadam
Va nihoyat, biz ikkinchi lotinda \(y'\) ni xohlamasligimizni eslang. Shunday qilib, buni tugatish uchun keling, \(y'\) formulasini ulashni "osonroq" qilish uchun biroz "soddalashtiramiz".
\[\begin{align*}y'' & = 2y\,y'{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 1}} + 2{y^3}{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 2}} + 2x{y^2}\,y'{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 2}}\\ & = 2y\,y'{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 1}}\left( {1 + xy{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 1}}} \right) + 2{y^3}{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 2}}\end{align*}\]Bularning barchasidan maqsad ikkinchi hosila uchun formulada bitta \(y'\) ga tushish edi, buni har doim ham amalga oshirish mumkin bo'lmaydi va biroz ko'paytuvchilarga ajratishga harakat qilib, ishni biroz osonlashtirishga harakat qilish edi.
Va nihoyat, yakuniy javobni olish uchun \(y'\) formulasini ulashimiz kifoya.
\[\begin{align*}y'' & = 2y\left[ {{y^2}{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 1}}} \right]{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 1}}\left( {1 + xy{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 1}}} \right) + 2{y^3}{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 2}}\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{2{y^3}{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 2}}\left( {1 + xy{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 1}}} \right) + 2{y^3}{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 2}}}}\end{align*}\]E'tibor bering, keyingi soddalashtirish bosqichi uchun, agar biz oldinga borishni istasak, ikkala shartdan \[2{y^3}{\left( {6 - 2xy} \right)^{ - 2}}\]ni hisobga olishimiz mumkin,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y'' = 2{y^3}{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 2}}\left( {2 + xy{{\left( {6 - 2xy} \right)}^{ - 1}}} \right)}}\]