3.12-bo'lim : Yuqori tartibli hosilalar
10. \(2{x^3} + {y^2} = 1 - 4y\) ning ikkinchi hosilasini aniqlang
Yechim
Bu muammoga ikkita hosila olishdan boshqa ko'p narsa yo'q, shuning uchun biz ikkinchi darajaga etgunimizcha, har bir qadam har bir keyingi hosilani ko'rsatadi. Shunga qaramay, biz qilishimiz kerakligiga e'tibor bering bilvosita farqlash har bir hosilani bajarish uchun.
Mana birinchi hosila uchun ish. Agar sizga yashirin farqlash bo'yicha yangilanish kerak bo'lsa, o'sha bo'limga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni tekshiring.
\[\begin{align*}6{x^2} + 2y\,y' & = - 4y'\\ \left( {2y + 4} \right)y' & = - 6{x^2}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y' = \frac{{ - 6{x^2}}}{{2y + 4}} = \frac{{ - 3{x^2}}}{{y + 2}}\end{align*}\]2-qadam
Endi ikkinchi hosila ham yashirin farqlashni talab qiladi. Shuni ham yodda tutingki, biz birinchi hosila bilan hozirgi shaklda ishlashimiz mumkin, bu esa bo'lim qoidasini talab qiladi yoki uni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
\[y' = - 3{x^2}{\left( {y + 2} \right)^{ - 1}}\]va mahsulot qoidasidan foydalaning.
Bular etarlicha chalkash bo'lib qoladi, shuning uchun biz "chalkashlik" ni biroz kamaytirishga harakat qilish uchun mahsulot qoidasiga amal qilamiz. Birinchi hosilaning hosilasini olish uchun yashirin differentsiatsiyadan foydalanish,
\[y'' = \frac{d}{{dx}}\left( {y'} \right) = - 6x{\left( {y + 2} \right)^{ - 1}} + 3{x^2}{\left( {y + 2} \right)^{ - 2}}y'\]3-qadam
Va nihoyat, esda tutingki, biz ikkinchi hosilada \(y'\) ni xohlamaymiz, shuning uchun buni tugatish uchun biz \(y'\) formulasini (biz bilamiz ...) kiritishimiz va yakuniy javobni olish uchun biroz soddalashtirishimiz kerak.
\[y'' = - 6x{\left( {y + 2} \right)^{ - 1}} + 3{x^2}{\left( {y + 2} \right)^{ - 2}}\left( { - 3{x^2}{{\left( {y + 2} \right)}^{ - 1}}} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 6x{{\left( {y + 2} \right)}^{ - 1}} - 9{x^4}{{\left( {y + 2} \right)}^{ - 3}}}}\]