Asosiy tarkibga o'tish

3.3-bo'lim : Farqlash formulalari

19. \(R\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\) funksiya qayerda ortib, kamayib borayotganini aniqlang.

Yechim

Eslatib o'tamiz, hosilaning talqinlaridan biri u funktsiyaning o'zgarish tezligini beradi. Funktsiya qayerda ortib borayotgani va kamayayotgani haqida gapirayotganimiz uchun biz aniq funktsiyaning o'zgarish tezligi haqida gapiramiz.

Shunday qilib, bizga hosila kerak bo'ladi. Biroq, birinchi navbatda, hosila olishimiz uchun funktsiyani ko'paytirishimiz kerak. Mana qayta yozilgan funksiya va hosila.

\[R\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4\hspace{0.5in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{R'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)}}\]

Esda tutingki, lotin keyingi bosqichlar uchun faktorlangan va umuman buni qilish shart emas.

2-qadam

Keyinchalik, funktsiya qayerda o'zgarmasligini bilishimiz kerak va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa lotinni nolga tenglashtirish va hal qilishdir.

\[R'\left( x \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3x\left( {x - 2} \right) = 0\]

Bundan hosila nolga teng bo'lishini va shuning uchun funktsiya harakatlanmasligini ko'rish juda oson,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 0 \hspace{0.25in} x = 2}}\]
3-qadam

Ushbu muammoga javob olish uchun biz bilishimiz kerak bo'lgan narsa, hosila ijobiy (va shuning uchun funktsiya ortib bormoqda) yoki salbiy (va shuning uchun funktsiya kamayishi) qaerda ekanligini bilishimiz kerak. Hosil uzluksiz bo'lgani uchun biz bilamizki, uning belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joy hosila nolga teng bo'lgan joydir. Shunday qilib, biz ushbu bo'limda qilganimizdek, tezkor raqamlar qatori bizga turli intervallar uchun hosilaning belgisini beradi.

Mana bu muammo uchun raqam chizig'i.

A number line for the derivative of \(R\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\) with dashed vertical lines at \(x = 0\) and \(x = 2\) dividing it into three regions. In the left region \(R'\left( { - 1} \right) = 9\) so \(R'\left( x \right) > 0\), in the middle region \(R'\left( 1 \right) = - 3\) so \(R'\left( x \right) < 0\), and in the right region \(R'\left( 3 \right) = 9\) so \(R'\left( x \right) > 0\).

Bundan biz quyidagi o'sish/kamayish ma'lumotlarini olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Increasing :}} & \,\, - \infty < x < 0,\,\,\,\,\,2 < x < \infty \\ {\mbox{Decreasing :}} & \,\,0 < x < 2\end{align*}}\]