Asosiy tarkibga o'tish

3.3-bo'lim : Farqlash formulalari

17. Ob'ektning istalgan vaqtda t holati \(s\left( t \right) = 3{t^4} - 40{t^3} + 126{t^2} - 9\) tomonidan berilgan.

  1. Jismning istalgan vaqtda t tezligini aniqlang.
  2. Ob'ekt hech qachon harakatni to'xtatadimi?
  3. Ob'ekt qachon o'ngga, qachon chapga harakatlanadi?
a Jismning istalgan vaqtda t tezligini aniqlang. Yechim

Eslatib o'tamiz, lotinning talqinlaridan biri, agar ob'ektning joylashuv funktsiyasini bilsak, u ob'ektning tezligini beradi.

Bizga ob'ektning joylashuv funksiyasi berilgan va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa uning hosilasini topish va biz istalgan vaqtda \(t\) ob'ekt tezligiga ega bo'lamiz.

U holda jismning tezligi,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{s'\left( t \right) = 12{t^3} - 120{t^2} + 252t = 12t\left( {t - 3} \right)\left( {t - 7} \right)}}\]

Esda tutingki, lotin keyingi qismlar uchun faktorlangan va umuman buni qilish shart emas.


b Ob'ekt hech qachon harakatni to'xtatadimi? Yechim

Tezlik har doim nolga teng bo'lsa, ob'ekt harakat qilmaydi va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa lotinni nolga tenglashtirish va hal qilishdir.

\[s'\left( t \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}12t\left( {t - 3} \right)\left( {t - 7} \right) = 0\]

Bundan hosila nolga teng bo'lishini va shuning uchun ob'ekt harakatlanmasligini ko'rish juda oson,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = 0 \hspace{0.25in} t = 3 \hspace{0.25in} t = 7}}\]

c Ob'ekt qachon o'ngga, qachon chapga harakatlanadi? Yechim

Bu qismga javob berish uchun biz bilishimiz kerak bo'lgan narsa, hosila qaerda ijobiy (va shuning uchun ob'ekt o'ngga siljiydi) yoki salbiy (shuning uchun ob'ekt chapga siljiydi). Hosil uzluksiz bo'lgani uchun biz bilamizki, uning belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joy hosila nolga teng bo'lgan joydir. Shunday qilib, biz ushbu bo'limda qilganimizdek, tezkor raqamlar qatori bizga turli intervallar uchun hosilaning belgisini beradi.

Mana bu muammo uchun raqam chizig'i.

A number line for the derivative of \(s\left( t \right) = 3{t^4} - 40{t^3} + 126{t^2} - 9\) with dashed vertical lines at \(t = 0\), \(t = 3\) and \(t = 7\) dividing it into four regions. In the first region \(s'\left( { - 1} \right) = - 384\) so \(s'\left( t \right) < 0\), in the second \(s'\left( 1 \right) = 144\) so \(s'\left( t \right) > 0\), in the third \(s'\left( 4 \right) = - 144\) so \(s'\left( t \right) < 0\), and in the fourth \(s'\left( 8 \right) = 480\) so \(s'\left( t \right) > 0\).

Bundan biz quyidagi o'ng/chap harakat ma'lumotlarini olamiz.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Moving Right :}} & \,\,\,\, 0 < t < 3, \hspace{0.25in} 7 < t < \infty \\ {\mbox{Moving Left :}} & - \infty < t < 0, \hspace{0.25in} 3 < t < 7\end{align*}}\]

Esda tutingki, \(t\) talqiniga qarab, siz \( - \infty < t < 0\) oralig'ini “Chapga o'tish” qismiga kiritgan yoki kiritmagan bo'lishingiz mumkin.