3.1-bo'lim : Hosilaning ta'rifi
7. Hosila ta’rifidan foydalanib, funksiyaning hosilasini toping:
\[g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\]Yechim
Avval funksiyani hosila ta'rifiga qo'yishimiz kerak.
\[g'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {x + h} \right)}^3} - 2{{\left( {x + h} \right)}^2} + x + h - 1 - \left( {{x^3} - 2{x^2} + x - 1} \right)}}{h}\]Birinchi funksiya qiymatini to'g'ri ochib chiqqaningizga ishonch hosil qiling. Bu talabalar bunday masalalarni yechishda eng ko'p yo'l qo'yadigan xatolardan biridir.
Shuningdek, ikkinchi funksiya qiymatidagi qavslarga e'tibor bering. Siz butun funksiyani ayiryapsiz, shuning uchun minus ishorasini to'g'ri taqsimlashingiz zarur. Biz bu yerda qilganimizdek qavslarga oling yoki minus ishorasi to'g'ri tarqatilganiga ishonch hosil qiling. Bu yana bir juda keng tarqalgan xato bo'lib, agar shunday xatoga yo'l qo'yilsa, masalani oxiriga yetkazish imkonsiz bo'lib qoladi.
2-qadam
Endi algebraik hisoblashlarni bajaramiz (bu yerda hisob-kitoblar biroz murakkabroq ko'rinadi, ammo bu bunday turdagi masalalarda odatiy hol) va masala yechiladi.
\[\begin{align*}g'\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^3} + 3{x^2}h + 3x{h^2} + {h^3} - 2\left( {{x^2} + 2xh + {h^2}} \right) + x + h - 1 - \left( {{x^3} - 2{x^2} + x - 1} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^3} + 3{x^2}h + 3x{h^2} + {h^3} - 2{x^2} - 4xh - 2{h^2} + x + h - 1 - {x^3} + 2{x^2} - x + 1}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h\left( {3{x^2} + 3xh + {h^2} - 4x - 2h + 1} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {3{x^2} + 3xh + {h^2} - 4x - 2h + 1} \right) = 3{x^2} - 4x + 1\end{align*}\]Demak, bu funksiyaning hosilasi quyidagicha:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{g'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1}}\]