4.2-bo'lim : Muhim nuqtalar
7. \(\displaystyle f\left( z \right) = \frac{{z + 4}}{{2{z^2} + z + 8}}\) kritik nuqtalarini aniqlang.
Yechim
Ushbu muammoga javob olish uchun bizga birinchi hosila kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[f'\left( z \right) = \frac{{\left( 1 \right)\left( {2{z^2} + z + 8} \right) - \left( {z + 4} \right)\left( {4z + 1} \right)}}{{{{\left( {2{z^2} + z + 8} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{z^2} - 16z + 4}}{{{{\left( {2{z^2} + z + 8} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2\left( {{z^2} + 8z - 2} \right)}}{{{{\left( {2{z^2} + z + 8} \right)}^2}}}\]"-2" numeratordan faqat keyingi bosqich uchun biroz chiroyli qilish uchun ajratildi va buni qilish shart emas.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, tanqidiy nuqtalar lotin nolga teng bo'lgan va/yoki mavjud bo'lmagan joydir. Bu holda hosila ratsional ifoda hisoblanadi. Shuning uchun, agar hisob nolga teng bo'lsa, hosila nolga teng bo'lishini bilamiz (va maxraj ham xuddi shu qiymatlar uchun nolga teng emas). Agar biz nolga bo'linsak, hosila mavjud bo'lmasligini ham bilamiz.
Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa surat va maxrajni nolga tenglashtirish va hal qilishdir. Shuni ham yodda tutingki, biz suratdan ajratilgan "-2" uning nolga teng bo'lgan joyiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Xuddi shunday, butun maxrajdagi ko'rsatkich uning nolga teng bo'lgan joyiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun ham e'tiborsiz qoldirilishi mumkin. Bu quyidagi ikkita tenglamani yechishimiz kerakligini anglatadi.
\[{z^2} + 8z - 2 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}z = \frac{{ - 8 \pm \sqrt {72} }}{2} = - 4 \pm 3\sqrt 2 \] \[2{z^2} + z + 8 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}z = \frac{{ - 1 \pm \sqrt { - 63} }}{4} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {63} \,i}}{4}\]Ko'rib turganimizdek, bu holda biz kvadrat tenglamalarning ikkalasini ham kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak edi. Esda tutingki, hamma kvadratiklar omil bo'lmaydi, shuning uchun kvadrat formulani unutmang!
3-qadam
Keling, eslaylikki, biz bu sinfda murakkab raqamlardan foydalanmaymiz va shuning uchun maxraj nolga teng bo'lgan echimlar (i.e. hosila mavjud emas) muhim nuqtalar bo'lmaydi. Shuning uchun, bu funktsiyaning yagona muhim nuqtalari:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - 4 \pm 3\sqrt 2 }}\]