4.2-bo'lim : Muhim nuqtalar
6. \(Q\left( x \right) = {\left( {2 - 8x} \right)^4}{\left( {{x^2} - 9} \right)^3}\) kritik nuqtalarini aniqlang.
Yechim
Ushbu muammoga javob olish uchun bizga birinchi hosila kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[\begin{align*}Q'\left( x \right) & = 4{\left( {2 - 8x} \right)^3}\left( { - 8} \right){\left( {{x^2} - 9} \right)^3} + {\left( {2 - 8x} \right)^4}\left( 3 \right){\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\left( {2x} \right)\\ & = 2{\left( {2 - 8x} \right)^3}{\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\left[ { - 16\left( {{x^2} - 9} \right) + 3x\left( {2 - 8x} \right)} \right]\\ & = 2{\left( {2 - 8x} \right)^3}{\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\left[ { - 40{x^2} + 6x + 144} \right] = - 4{\left( {2 - 8x} \right)^3}{\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\left[ {20{x^2} - 3x - 72} \right]\end{align*}\]Hosilni iloji boricha ko'paytuvchilarga ajratish qilish keyingi bosqichda yordam beradi. Ushbu muammo uchun (oldingi ba'zi muammolardan farqli o'laroq) bu qo'shimcha ko'paytuvchilarga ajratish buni tugatishni osonlashtirish uchun talab qilinadi.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, tanqidiy nuqtalar lotin nolga teng bo'lgan va/yoki mavjud bo'lmagan joydir. Bu holda hosila shunchaki ko'phaddir (albatta, biroz chigal ko'phad) va biz bu hamma joyda borligini bilamiz, shuning uchun biz bu haqda tashvishlanishga hojat yo'q. Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa lotinni nolga tenglashtirish va kritik nuqtalarni hal qilishdir.
\[ - 4{\left( {2 - 8x} \right)^3}{\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\left[ {20{x^2} - 3x - 72} \right] = 0\]Bundan biz yechishimiz kerak bo'lgan quyidagi uchta tenglamani olamiz.
\[\begin{align*}{\left( {2 - 8x} \right)^3} & = 0\\ {\left( {{x^2} - 9} \right)^2} & = 0\\ 20{x^2} - 3x - 72 & = 0\end{align*}\]Birinchi ikkita tenglama uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - qavs ichidagi miqdorni nolga qo'yish (qavsdagi ko'rsatkich yechimga ta'sir qilmaydi) va uchinchisi kvadrat formulani talab qiladi.
\[2 - 8x = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = {\textstyle{1 \over 4}}}}\] \[{x^2} - 9 = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = \pm 3}}\] \[20{x^2} - 3x - 72 = 0\hspace{0.5in}\Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,x = \frac{{3 \pm \sqrt {{3^2} - 4\left( {20} \right)\left( { - 72} \right)} }}{{2\left( {20} \right)}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{3 \pm \sqrt {5769} }}{{40}}}}\]Shunday qilib, biz yuqorida joylashgan 5 ta muhim nuqtani olamiz.