4.2-bo'lim : Muhim nuqtalar
17. \(A\left( t \right) = 3t - 7\ln \left( {8t + 2} \right)\) kritik nuqtalarini aniqlang.
Yechim
Ushbu muammoga javob olish uchun bizga birinchi hosila kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[A'\left( t \right) = 3 - 7\left( {\frac{8}{{8t + 2}}} \right) = 3 - \frac{{56}}{{8t + 2}} = \frac{{24t - 50}}{{8t + 2}}\]Biz keyingi bosqichda yordam berish uchun lotinni biroz soddalashtirdik. Texnik jihatdan talab qilinmasa ham, bu keyingi qadamni bajarish ancha sodda bo'lishini anglatadi.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, tanqidiy nuqtalar lotin nolga teng bo'lgan va/yoki mavjud bo'lmagan joydir. Bu holda hosila ratsional ifoda hisoblanadi.
Shunday qilib, biz bilamizki, agar surat nolga teng bo'lsa, hosila nolga teng bo'ladi (va maxraj ham xuddi shu qiymatlar uchun nolga teng emas).
Agar biz nolga bo'linsak, hosila mavjud bo'lmasligini ham bilamiz. Biroq, bu holda, maxraj ham logarifm ichida joylashgan poliomiya ekanligini va shuning uchun \(t\) ning maxraji nolga teng bo'lgan har qanday qiymatlari (i.e. \(t = - {\textstyle{1 \over 4}}\), chunki bu nuqtani ko'rish oson) asl funktsiyaning domenida bo'lmaydi (i.e. \(A\left( { - {\textstyle{1 \over 4}}} \right)\) funksiyasi mavjud bo'lmaydi, chunki biz nolning logarifmini qabul qila olmaymiz). Shuning uchun bu nuqta tanqidiy nuqta bo'lmaydi.
Shunday qilib, numeratorni nolga tenglashtirish,
\[24t - 50 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = {\textstyle{{25} \over {12}}}\]3-qadam
Yakuniy qadam sifatida biz haqiqatan ham \(A\left( {{\textstyle{{25} \over {12}}}} \right)\) mavjudligini tekshirishimiz kerak, chunki logarifm bilan shug'ullanayotganimiz uchun u bo'lmasligi har doim ham mumkin. U mavjud (\(A\left( {{\textstyle{{25} \over {12}}}} \right) = {\textstyle{{75} \over {12}}} - 7\ln \left( {{\textstyle{{56} \over 3}}} \right)\)) va shuning uchun bu funktsiya uchun yagona muhim nuqta:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = {\textstyle{{25} \over {12}}}}}\]