4.2-bo'lim : Muhim nuqtalar
16. \(R\left( x \right) = \ln \left( {{x^2} + 4x + 14} \right)\) kritik nuqtalarini aniqlang.
Yechim
Ushbu muammoga javob olish uchun bizga birinchi hosila kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[R'\left( x \right) = \frac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 14}}\]2-qadam
Eslatib o'tamiz, tanqidiy nuqtalar lotin nolga teng bo'lgan va/yoki mavjud bo'lmagan joydir. Bu holda hosila ratsional ifoda hisoblanadi.
Shunday qilib, biz bilamizki, agar surat nolga teng bo'lsa, hosila nolga teng bo'ladi (va maxraj ham xuddi shu qiymatlar uchun nolga teng emas).
Agar biz nolga bo'linsak, hosila mavjud bo'lmasligini ham bilamiz. Biroq, bu holda shuni yodda tutingki, maxraj ham logarifm ichidagi ko'phaddir va shuning uchun maxraj nolga teng bo'lgan \(x\) ning har qanday qiymatlari asl funktsiya sohasiga kirmaydi (i.e. \(R\left( x \right)\) funksiyasi \(x\) ning o‘sha qiymatlarida mavjud bo‘lmaydi, chunki biz nol logarifmini qabul qila olmaymiz). Shuning uchun, bu nuqtalar tanqidiy nuqtalar bo'lmaydi va hosila nolga teng bo'lishini aniqlash bilan bezovtalanishimiz shart emas.
Shunday qilib, numeratorni nolga tenglashtirish,
\[2x + 4 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 2\]3-qadam
Yakuniy qadam sifatida biz haqiqatan ham \(R\left( { - 2} \right)\) mavjudligini tekshirishimiz kerak, chunki logarifm bilan shug'ullanayotganimiz uchun u bo'lmasligi har doim ham mumkin. U mavjud (\(R\left( { - 2} \right) = \ln \left( {10} \right)\)) va shuning uchun bu funktsiya uchun yagona muhim nuqta:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - 2}}\]