4.2-bo'lim : Muhim nuqtalar
10. \(h\left( t \right) = 15 - \left( {3 - t} \right){\left[ {{t^2} - 8t + 7} \right]^{\frac{1}{3}}}\) kritik nuqtalarini aniqlang.
Yechim
Ushbu muammoga javob olish uchun bizga birinchi hosila kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[\begin{align*}h'\left( t \right) & = {\left[ {{t^2} - 8t + 7} \right]^{\frac{1}{3}}} - \left( {3 - t} \right)\left( {{\textstyle{1 \over 3}}} \right)\left( {2t - 8} \right){\left[ {{t^2} - 8t + 7} \right]^{ - \,\,\frac{2}{3}}} = {\left[ {{t^2} - 8t + 7} \right]^{\frac{1}{3}}} - \frac{{\left( {3 - t} \right)\left( {2t - 8} \right)}}{{3{{\left[ {{t^2} - 8t + 7} \right]}^{\,\frac{2}{3}}}}}\\ & = \frac{{3\left( {{t^2} - 8t + 7} \right) - \left( {3 - t} \right)\left( {2t - 8} \right)}}{{3{{\left( {{t^2} - 8t + 7} \right)}^{\,\frac{2}{3}}}}} = \frac{{5{t^2} - 38t + 45}}{{3{{\left( {{t^2} - 8t + 7} \right)}^{\,\frac{2}{3}}}}}\end{align*}\]Farqlashdan so'ng biz salbiy ko'rsatkichli atamani maxrajga o'tkazdik va keyin hamma narsani bitta atamaga birlashtirdik. Bu keyingi bosqichda sezilarli darajada yordam beradi.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, tanqidiy nuqtalar lotin nolga teng bo'lgan va/yoki mavjud bo'lmagan joydir.
Biz manfiy ko'rsatkichli atamani maxrajga ko'chirdik va keyin hamma narsani bitta atamaga birlashtirdik, endi hosilalarni ratsional ifoda sifatida yozdik. Shuning uchun, agar hisob nolga teng bo'lsa, hosila nolga teng bo'lishini bilamiz (va maxraj ham xuddi shu qiymatlar uchun nolga teng emas). Agar biz nolga bo'linsak, hosila mavjud bo'lmasligini ham bilamiz.
Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa surat va maxrajni nolga tenglashtirish va hal qilishdir. E'tibor bering, butun maxrajdagi ko'rsatkich uning nolga teng bo'lgan joyiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bu quyidagi ikkita tenglamani yechishimiz kerakligini anglatadi.
\[5{t^2} - 38t + 45 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = \frac{{38 \pm \sqrt {544} }}{{10}} = \frac{{19 \pm 2\sqrt {34} }}{5}\] \[{t^2} - 8t + 7 = \left( {t - 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = 1,\,\,7\]3-qadam
E'tibor bering, biz hosiladagi barcha atamalarni bitta atamaga birlashtirganimiz sababli, bu funktsiya uchun muhim nuqtalarni aniqlash ancha oson bo'ldi. Agar biz atamalarni birlashtirmaganimizda, hal qilish ishi imkonsiz bo'lmasa ham, yanada murakkabroq bo'lar edi.
Shunday qilib, shuningdek, oxirgi ikkita kritik nuqta kritik nuqtalar ekanligini aniq ko'rsatadi, chunki hosila bu nuqtalarda mavjud emas, chunki bu nuqtalarda hosila nolga teng. Shuni ham yodda tutingki, ular muhim nuqtalardir, chunki funktsiya ushbu nuqtalarda mavjud.
Shuning uchun, dastlabki ikkita kritik nuqta bilan birga (bu erda hosila nolga teng), biz ushbu funktsiya uchun quyidagi kritik nuqtalarni olamiz.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = 1,\,\,7,\,\,\frac{{19 \pm 2\sqrt {34} }}{5}}}\]