5.2-bo'lim : Noaniq integrallarni hisoblash
8. \( \displaystyle \int{{\frac{4}{{{x^2}}} + 2 - \frac{1}{{8{x^3}}}\,dx}}\) ni baholang.
Maslahat: maxrajdagi \(x\) ni manfiy ko'rsatkichli suratga ko'chirishni unutmang.
Yechim
Biz birinchi navbatda maxrajdagi \(x\) ni manfiy ko'rsatkichlari bo'lgan numeratorga o'tkazishimiz kerak.
\[\int{{\frac{4}{{{x^2}}} + 2 - \frac{1}{{8{x^3}}}\,dx}} = \int{{4{x^{ - 2}} + 2 - \frac{1}{8}{x^{ - 3}}\,dx}}\]Esda tutingki, uchinchi hadning maxrajidagi “8” maxrajda qoladi va \(x\) bilan yuqoriga siljimaydi.
2-qadam
Biz \(x\)-ni maxrajdan chiqarganimizdan so'ng, integralni baholashdan boshqa ishimiz qolmaydi.
\[\begin{align*}\int{{\frac{4}{{{x^2}}} + 2 - \frac{1}{{8{x^3}}}\,dx}} & = \int{{4{x^{ - 2}} + 2 - \frac{1}{8}{x^{ - 3}}\,dx}}\\ & = 4\left( {\frac{1}{{ - 1}}} \right){x^{ - 1}} + 2x - \frac{1}{8}\left( {\frac{1}{{ - 2}}} \right){x^{ - 2}} + c = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 4{x^{ - 1}} + 2x + \frac{1}{{16}}{x^{ - 2}} + c}}\end{align*}\]“+c” ni qo‘shishni unutmang, chunki biz integralni olish uchun qaysi funktsiyani farqlaganimizni so‘raayotganimizni bilamiz va doimiyning hosilasi nolga teng va shuning uchun javobga buni qo‘shishimiz kerak.