5.7-bo'lim : Aniq integrallarni hisoblash
13. Iloji bo'lsa, quyidagi integralni baholang. Agar buning iloji bo'lmasa, nima uchun integralni baholash mumkin emasligini aniq tushuntiring.
\[\int_{0}^{2}{{{{\bf{e}}^x} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\,dx}}\]Yechim
Avval biz funktsiyani birlashtirishimiz kerak.
\[\int_{0}^{2}{{{{\bf{e}}^x} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\,dx}} = \left. {\left( {{{\bf{e}}^x} + {{\tan }^{ - 1}}\left( x \right)} \right)} \right|_0^2\]Eslatib o'tamiz, biz aniq integral holatda "+c" ni qo'shishimiz shart emas, chunki u keyingi bosqichda bekor qilinadi.
2-qadam
Yakuniy bosqich - bu faqat baholashni amalga oshirishdir.
Tasdiqlash va faqat baholash natijalarini ko'rsatish uchun asosiy arifmetikani sizga qoldiramiz. Avval yuqori chegarani baholaganingizga ishonch hosil qiling va keyin pastki chegaradagi baholashni olib tashlang.
Mana bu muammoning javobi.
\[\int_{0}^{2}{{{{\bf{e}}^x} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}\,dx}} = \left( {{{\bf{e}}^2} + {{\tan }^{ - 1}}\left( 2 \right)} \right) - \left( {{{\bf{e}}^0} + {{\tan }^{ - 1}}\left( 0 \right)} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{{\bf{e}}^2} + {{\tan }^{ - 1}}\left( 2 \right) - 1}}\]E'tibor bering, \({\tan ^{ - 1}}\left( 0 \right) = 0\), lekin \({\tan ^{ - 1}}\left( 2 \right)\) "yaxshi" javobga ega emas va shunday bo'lib qolgan.