3.9-bo'lim : Zanjir qoidasi
32. \(\left[ { - 1,20} \right]\) oraliqda \(f\left( x \right) = \ln \left( {{x^4} + 20{x^3} + 100} \right)\) funksiyasi qayerda ortib, kamayib borayotganini aniqlang.
Yechim
Bizga birinchi navbatda hosila kerak bo'ladi, chunki hosila bizga funktsiyaning o'zgarish tezligini berishini bilamiz. Mana lotin.
\[f'\left( x \right) = \frac{{4{x^3} + 60{x^2}}}{{{x^4} + 20{x^3} + 100}} = \frac{{4{x^2}\left( {x + 15} \right)}}{{{x^4} + 20{x^3} + 100}}\]E'tibor bering, biz keyingi bosqichda yordam berish uchun suratni ajratdik. Umuman olganda, biz buni qilishimiz shart emas.
2-qadam
Keyinchalik, funktsiya qayerda o'zgarmasligini bilishimiz kerak va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa lotinni nolga tenglashtirish va hal qilishdir.
\[\frac{{4{x^2}\left( {x + 15} \right)}}{{{x^4} + 20{x^3} + 100}} = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in} 4{x^2}\left( {x + 15} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} x = 0,\,\,\,\,x = - 15\]E'tibor bering, umuman olganda, biz hosila qaerda aniqlanmaganligi bilan ham shug'ullanishimiz kerak. Funktsiyalar belgilanmagan joyda belgini o'zgartirishi mumkin (va ko'pincha qiladi). Biroq, bu holda biz intervalni funksiya mavjud bo'lgan va berilgan oraliqda uzluksiz bo'lgan diapazonga cheklab qo'ydik va shuning uchun bu muammo uchun tashvishlanishimiz kerak bo'lgan narsa.
Keyingi bobda hosila ham ma'lum nuqtalarda aniqlanmagan bo'lsa nima bo'lishini ko'rib chiqamiz.
Shuni ham yodda tutingki, biz haqiqatan ham bu nuqtada orqaga qaytishimiz va \(\left[ { - 1,20} \right]\) oralig'ida ishlayotganimizni eslashimiz kerak. Bizni faqat ushbu intervalda nima sodir bo'layotgani qiziqtiradi va shuning uchun biz yuqorida topilgan nuqtalar interval ichida ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Bu holda faqat \(x = 0\) intervalda bo'ladi va shuning uchun biz ushbu muammoning qolgan qismida \(x = - 15\)ni ishimizdan chiqarib tashlashimiz kerak bo'ladi.
3-qadam
Ushbu muammoga javob olish uchun biz bilishimiz kerak bo'lgan narsa, hosila ijobiy (va shuning uchun funktsiya ortib bormoqda) yoki salbiy (va shuning uchun funktsiya kamayishi) qaerda ekanligini bilishimiz kerak. Hosil uzluksiz bo'lgani uchun biz bilamizki, uning belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joy hosila nolga teng bo'lgan joydir. Shunday qilib, biz ushbu bo'limda qilganimizdek, tezkor raqamlar qatori bizga turli intervallar uchun hosilaning belgisini beradi.
Mana bu muammo uchun raqam chizig'i.
![A number line for the derivative of \(f\left( x \right) = \ln \left( {{x^4} + 20{x^3} + 100} \right)\) covering the interval \(\left[ { - 1,20} \right]\), with a single dashed vertical line at \(x = 0\). To the left of it, in a boxed computation joined to the region by an arrow, \(f'\left( { - 1} \right) = 0.69\) so \(f'\left( x \right) > 0\), and to the right of it \(f'\left( 1 \right) = 0.53\) so \(f'\left( x \right) > 0\). The derivative is positive on both sides of \(x = 0\).](/Solutions/CalcI/ChainRule//Solutions/CalcI/ChainRule/ChainRule_Files/image004.webp)
Demak, bu holda funktsiya \(\left[ { - 1,20} \right]\) oralig'ida \(x = 0\)dan tashqari hamma joyda ortib borayotganini ko'rishimiz mumkin. Eslatib o'tamiz, bu nuqtada hosila nolga teng edi va shuning uchun funktsiya o'zgarmaydi (va shuning uchun ortib bo'lmaydi).
Shunday qilib, bu muammoning rasmiy javobi:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{\mbox{Increasing :}}\, - 1 \le x < 0,\,\,\,\,\,0 < x \le 20}}\]E'tibor bering, biz faqat \(\left[ { - 1,20} \right]\) oralig'ida nima sodir bo'layotganini ko'rib chiqdik, chunki biz ushbu intervaldan tashqarida funktsiyaning ortishi/kamayishi haqida hech narsa deya olmaymiz.