AreaBetweenCurves - 8-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

8. $y = 4x + 3$, $y = 6 - x - 2{x^2}$, $x = - 4$ va $x = 2$ bilan chegaralangan mintaqa maydonini aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graphs of the line $y = 4x + 3$ and the downward opening parabola $y = 6 - x - 2{x^2}$ together with the vertical lines $x = - 4$ and $x = 2$, with the bounded region shaded in. The two curves cross at $x = - 3$ and $x = \frac{1}{2}$. Between those two points the parabola is the upper function and the line is the lower one, while outside them, from $x = - 4$ to $x = - 3$ and from $x = \frac{1}{2}$ to $x = 2$, the line is the upper function and the parabola is the lower one.$

2-qadam

Muammo bayonotida bizga $x$-da ikkita chegara berildi. Biroq, yuqoridagi grafikning eskizida ko'rinib turibdiki, egri chiziqlar ushbu mintaqada kesishadi va yuqori/pastki funktsiyalar biz qidirayotgan $x$ diapazoniga qarab farqlanadi.

Shuning uchun biz kesishish nuqtalarini topishimiz kerak. Biroq, biz hech qachon bizning grafigimiz to'g'ri deb o'ylamasligimiz kerak yoki biz uni grafikdan koordinatalarni taxmin qilish uchun etarlicha aniq o'qiy olamiz. Bu, ayniqsa, ikkita egri chiziqning kesishish nuqtalari o'qda bo'lmaganda to'g'ri keladi (bu holda ular bunday bo'lmaydi).

Shunday qilib, kesishish nuqtalarini to'g'ri aniqlash uchun biz ularni to'g'ridan-to'g'ri topishimiz kerak. Kesishish nuqtalari ikkita egri chiziqning kesishgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita tenglamani tenglashtirish va yechishdir. Shunday qilib,

\[6 - x - 2{x^2} = 4x + 3\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}2\,{x^2} + 5x - 3 = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 3,\,\,\,\,x = \frac{1}{2}\]

E'tibor bering, agar siz qo'lda grafik chizayotgan bo'lsangiz, birinchi qadamda kesishish nuqtalarini aniqlagan bo'lishingiz mumkin.

Shunday qilib, grafikdan bizga uchta integral kerak bo'ladi, chunki $x$ ning uchta diapazoni ($ - 4 \le x \le - 3$, $ - 3 \le x \le \frac{1}{2}$ va $\frac{1}{2} \le x \le 2$) mavjud bo'lib, ular uchun yuqori/pastki funksiyalar farqlanadi.

3-qadam

Ayni paytda integrallarni oshirish va ularni baholashdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[\begin{align*}A & = \int_{{ - 4}}^{{ - 3}}{{4x + 3 - \left( {6 - x - 2{x^2}} \right)\,dx}} + \int_{{ - 3}}^{{\frac{1}{2}}}{{6 - x - 2{x^2} - \left( {4x + 3} \right)\,dx}} + \int_{{\frac{1}{2}}}^{2}{{4x + 3 - \left( {6 - x - 2{x^2}} \right)\,dx}}\\ & = \int_{{ - 4}}^{{ - 3}}{{2{x^2} + 5x - 3\,dx}} + \int_{{ - 3}}^{{\frac{1}{2}}}{{3 - 5x - 2{x^2}\,dx}} + \int_{{\frac{1}{2}}}^{2}{{2{x^2} + 5x - 3\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^3} + \frac{5}{2}{x^2} - 3x} \right)} \right|_{ - 4}^{ - 3} + \left. {\left( {3x - \frac{5}{2}{x^2} - \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 3}^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^3} + \frac{5}{2}{x^2} - 3x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\ & = \frac{{25}}{6} + \frac{{343}}{{24}} + \frac{{81}}{8} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{343}}{{12}}}}\end{align*}\]