AreaBetweenCurves - 7-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

7. $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $, $y = {{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{1}{2}x}}$, $x = - 3$ va $y$ o'qi bilan chegaralangan mintaqa maydonini aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

E'tibor bering, birinchi tenglama bilan ishlash uchun grafik kalkulyator yoki kompyuterdan foydalanish kerak bo'lishi mumkin, ammo siz ikkinchi tenglamaning grafigini qo'lda chizishingiz mumkin.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graphs of $y = {{\bf{e}}^{ - \frac{1}{2}x}}$, which decreases gently from the upper left towards the x-axis, and $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $, which comes up steeply from the lower left, together with the vertical line $x = - 3$ and the y-axis. The region between them is shaded in and runs from $x = - 3$ to $x = 0$, with the exponential as the upper function and the other curve as the lower function.$

2-qadam

Grafikdan ko'rinib turibdiki, yuqori funktsiya $y = {{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{1}{2}x}}$ va pastki funktsiya $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $.

Keyinchalik, muammo bayonotida bizga $x$ bo'yicha limitlar berildi (esda tuting, $y$ o'qi faqat $x = 0$ chizig'idir!) va biz ikkita egri chiziq bu diapazonda kesishmasligini ko'rishimiz mumkin. E'tibor bering, bu biz har doim ham kafolat bera olmaydigan narsa va shuning uchun egri chiziqlar kesishadimi yoki yo'qligini tekshirish uchun grafik kerak. Biz hech qachon shunday deb o'ylamasligimiz kerak, chunki $x$ ga limitlar muammo bayonotida berilgan, chunki egri chiziqlar berilgan chegaralar orasida hech qanday joyda kesishmaydi.

Shunday qilib, egri chiziqlar kesishmaganligi sababli biz chegaralar yordamida bitta integralli maydonni topamiz: $ - 3 \le x \le 0$.

3-qadam

Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.

Biz sizga integratsiyaning asosiy usullari, jumladan, almashtirish usullaridan foydalanish qulay deb o‘ylaymiz, chunki bu yerda bu zarur bo‘ladi, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[A = \int_{{ - 3}}^{0}{{{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{1}{2}x}} - x\sqrt {{x^2} + 1} \,dx}} = \left. {\left( { - 2{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{1}{2}x}} - \frac{1}{3}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_{ - 3}^0 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{7}{3} + 2{{\bf{e}}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3}{{10}^{\frac{3}{2}}} = 17.17097}}\]