6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon
6. \(x = {y^2} - y - 6\) va \(x = 2y + 4\) bilan chegaralangan hudud maydonini aniqlang.
Yechim
Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.
Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.
Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.
E'tibor bering, biz mintaqaning yuqoridagi kesishish nuqtasi ustidagi yoki pastki kesishish nuqtasi ostidagi hech qanday qismini kiritmaymiz. Mintaqani har bir chegarada berilgan egri chiziqlardan biri bilan chegaralash kerak. Agar biz yuqori kesishgan nuqtadan o'tsak, mintaqada yuqori chegaraga ega bo'lmagan bo'lardik. Xuddi shunday, agar biz pastki kesishgan nuqtadan o'tsak, mintaqada pastki chegaraga ega bo'lmaydi.
2-qadam
Grafikdan o'ng funktsiya \(x = 2y + 4\) va chap funktsiya \(x = {y^2} - y - 6\) ekanligi aniq bo'lishi kerak.
Muammo bayonotida bizga \(y\) uchun hech qanday limitlar berilmaganligi sababli, biz ularni olishimiz kerak. Biroq, biz hech qachon bizning grafigimiz to'g'ri deb o'ylamasligimiz kerak yoki biz uni grafikdan koordinatalarni taxmin qilish uchun etarlicha aniq o'qiy olamiz. Bu, ayniqsa, ikkita egri chiziqning kesishish nuqtalari (i.e. Bizga kerak bo'lgan \(y\) chegaralari o'qda sodir bo'lmaydi (bu holda ular bo'lmaydi).
Shunday qilib, kesishish nuqtalarini to'g'ri aniqlash uchun biz ularni to'g'ridan-to'g'ri topishimiz kerak. Kesishish nuqtalari ikkita egri chiziqning kesishgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita tenglamani tenglashtirish va yechishdir. Shunday qilib,
\[{y^2} - y - 6 = 2y + 4\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{y^2} - 3y - 10 = \left( {y - 5} \right)\left( {y + 2} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = - 2,\,\,\,\,y = 5\]Shuning uchun \(y\) dagi limitlar: \[ - 2 \le y \le 5\].
E'tibor bering, agar siz qo'lda grafik chizayotgan bo'lsangiz, birinchi qadamda kesishish nuqtalarini aniqlagan bo'lishingiz mumkin.
3-qadam
Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.
Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.
Hudud,
\[A = \int_{{ - 2}}^{5}{{2y + 4 - \left( {{y^2} - y - 6} \right)\,dy}} = \int_{{ - 2}}^{5}{{10 + 3y - {y^2}\,dy}} = \left. {\left( {10y + \frac{3}{2}{y^2} - \frac{1}{3}{y^3}} \right)} \right|_{ - 2}^5 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{343}}{6}}}\]