AreaBetweenCurves - 5-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

5. $x = 3 + {y^2}$, $x = 2 - {y^2}$, $y = 1$ va $y = - 2$ bilan chegaralangan hudud maydonini aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graphs of the two parabolas $x = 3 + {y^2}$, which opens to the right with vertex at $\left( {3,0} \right)$, and $x = 2 - {y^2}$, which opens to the left with vertex at $\left( {2,0} \right)$, together with the horizontal lines $y = 1$ and $y = - 2$. The bounded region is shaded in and over the whole range the parabola $x = 3 + {y^2}$ is the right boundary and $x = 2 - {y^2}$ is the left boundary, so the region is narrow in the middle and flares out at the top and bottom.$

2-qadam

Grafikdan ko'rinib turibdiki, o'ng funktsiya $x = 3 + {y^2}$ va chap funktsiya $x = 2 - {y^2}$.

Keyinchalik, muammo bayonotida bizga $y$ uchun limitlar berildi va biz ikkala egri chiziq bu diapazonda kesishmasligini ko'rishimiz mumkin. E'tibor bering, bu biz har doim ham kafolat bera olmaydigan narsa va shuning uchun egri chiziqlar kesishadimi yoki yo'qligini tekshirish uchun grafik kerak. Biz hech qachon shunchaki taxmin qilmasligimiz kerak, chunki $y$ ga limitlar muammo bayonotida berilgan, chunki egri chiziqlar berilgan chegaralar orasida hech qanday joyda kesishmaydi.

Shunday qilib, egri chiziqlar kesishmaganligi sababli biz chegaralar yordamida bitta integralli maydonni topamiz: $ - 2 \le y \le 1$.

3-qadam

Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[A = \int_{{ - 2}}^{1}{{3 + {y^2} - \left( {2 - {y^2}} \right)\,dy}} = \int_{{ - 2}}^{1}{{1 + 2{y^2}\,dy}} = \left. {\left( {y + \frac{2}{3}{y^3}} \right)} \right|_{ - 2}^1 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{9}\]