AreaBetweenCurves - 4-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

4. $\displaystyle y = \frac{8}{x}$, $y = 2x$ va $x = 4$ bilan chegaralangan mintaqa maydonini aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graphs of $y = \frac{8}{x}$, which decreases from the upper left, $y = 2x$, which is a line rising from the lower left, and the vertical line $x = 4$. The two curves cross at $\left( {2,4} \right)$ and the bounded region, which runs from $x = 2$ to $x = 4$ with the line on top and the curve $y = \frac{8}{x}$ on the bottom, is shaded in.$

2-qadam

Ushbu muammo uchun bizga $x$ da faqat bitta cheklov berildi (i.e. $x = 4$). Biz a keyin ekanligini eslang keyin biz faqat qaysi mintaqani aniqlash uchun chegaralangan mintaqa. Bu shuni anglatadiki, berilgan egri chiziqlardan biri mintaqaning har bir chegarasida bo'lishi kerak.

Shuning uchun biz $x = 4$ chizig'ining o'ng tomonidagi mintaqaning biron bir qismidan foydalana olmaymiz, chunki bu mintaqaning o'ng tomonida hech qachon chegara bo'lmaydi.

Shuningdek, biz kesishish nuqtasining chap tomonidagi mintaqaning biron bir qismini ololmaymiz. $x = 0$ da birinchi funksiya uzluksiz bo‘lgani uchun biz $x = 0$ ni o‘z ichiga olgan hududdan foydalana olmaymiz. Shuning uchun, kesishish nuqtasining chap tomonidagi mintaqaning istalgan qismi $y$ o'qidan oldin to'xtashi kerak va shunga o'xshash har qanday mintaqa chap chegarada berilgan egri chiziqlarga ega bo'lmaydi.

Keyin mintaqa yuqoridagi grafikda ko'rsatilgan hududdir. Biz mintaqani $x = 4$ chizig'ining chap tomoniga va kesishish nuqtasining o'ng tomoniga olib boramiz.

3-qadam

Endi biz kesishish nuqtasini aniqlashimiz kerak. Biroq, biz hech qachon bizning grafigimiz to'g'ri deb o'ylamasligimiz kerak yoki biz uni grafikdan koordinatalarni taxmin qilish uchun etarlicha aniq o'qiy olamiz. Bu, ayniqsa, ikkita egri chiziqning kesishish nuqtasi o'qda bo'lmasa, to'g'ri keladi (bu holda ular bunday bo'lmaydi).

Shunday qilib, kesishish nuqtasini to'g'ri aniqlash uchun uni to'g'ridan-to'g'ri topishimiz kerak. Kesishish nuqtasi ikkita egri chiziqning kesishgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita tenglamani tenglashtirish va yechishdir. Shunday qilib,

\[\frac{8}{x} = 2x\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{x^2} = 4\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 2,\,\,\,\,x = 2\]

E'tibor bering, biz ikkita javob olgan bo'lsak, bu erda salbiy qiymat hech qanday ma'noga ega emas, chunki bu qiymatga erishish uchun biz $x = 0$ orqali o'tishimiz kerak va yuqorida muhokama qilganimizdek, chegaralangan mintaqada $x = 0$ bo'lishi mumkin emas.

Shuning uchun $x$ dagi limitlar: \[2 \le x \le 4\].

Grafik va yuqoridagi chegaralardan ham yuqori funktsiya $y = 2x$ va pastki funktsiya $y = \frac{8}{x}$ ekanligi aniq bo'lishi kerak.

3-qadam

Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[A = \int_{2}^{4}{{2x - \frac{8}{x}\,dx}} = \left. {\left( {{x^2} - 8\ln \left| x \right|} \right)} \right|_2^4 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{12 - 8\ln \left( 4 \right) + 8\ln \left( 2 \right) = 6.4548}}\]