6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon
3. \(y = {x^2} + 2\), \(y = \sin \left( x \right)\), \(x = - 1\) va \(x = 2\) bilan chegaralangan hudud maydonini aniqlang.
Yechim
Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.
Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.
Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.
2-qadam
Grafikdan ko'rinib turibdiki, yuqori funktsiya \(y = {x^2} + 2\) va pastki funktsiya \(y = \sin \left( x \right)\).
Keyinchalik, muammo bayonotida bizga \(x\) chegaralari berildi va biz ikkala egri chiziq bu diapazonda kesishmasligini ko'rishimiz mumkin. E'tibor bering, bu biz har doim ham kafolat bera olmaydigan narsa va shuning uchun egri chiziqlar kesishadimi yoki yo'qligini tekshirish uchun grafik kerak. Muammo bayonotida \(x\) ga limitlar berilganligi sababli, egri chiziqlar berilgan chegaralar orasida hech qanday joyda kesishmaydi, deb hech qachon taxmin qilmasligimiz kerak.
Shunday qilib, egri chiziqlar kesishmaganligi sababli biz chegaralar yordamida bitta integralli maydonni topamiz: \( - 1 \le x \le 2\).
3-qadam
Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.
Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.
Hudud,
\[A = \int_{{ - 1}}^{2}{{{x^2} + 2 - \sin \left( x \right)\,dx}} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + 2x + \cos \left( x \right)} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{9 + \cos \left( 2 \right) - \cos \left( 1 \right) = 8.04355}}\]Agar javobni o'nli kasrga olsangiz, kalkulyatoringizni radianga o'rnatishni unutmang.