AreaBetweenCurves - 2-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

2. $g\left( y \right) = 3 - {y^2}$ ning chap tomonidagi va $x = - 1$ ning o‘ng tomonidagi maydonni aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graph of the parabola $g\left( y \right) = 3 - {y^2}$, which opens to the left with vertex at $\left( {3,0} \right)$, together with the vertical line $x = - 1$. The region between them is shaded in and runs from $y = - 2$ at the bottom to $y = 2$ at the top, where the line and the parabola cross. The line is the left boundary of the region and the parabola is the right boundary.$

2-qadam

Grafikdan ko'rinib turibdiki, to'g'ri funktsiya parabola (i.e. $x = 3 - {y^2}$) va chap funksiya $x = - 1$ qatoridir.

Muammo bayonotida bizga $y$ uchun hech qanday limitlar berilmaganligi sababli, biz ularni olishimiz kerak. Biroq, biz hech qachon bizning grafigimiz to'g'ri deb o'ylamasligimiz kerak yoki biz grafik chegaralarini taxmin qilish uchun uni etarlicha aniq o'qiy olamiz. Bu, ayniqsa, ikkita egri chiziqning kesishish nuqtalari (i.e. Bizga kerak bo'lgan $y$ chegaralari o'qda sodir bo'lmaydi (bu holda ular bo'lmaydi).

Shunday qilib, kesishish nuqtalarini to'g'ri aniqlash uchun biz ularni to'g'ridan-to'g'ri topishimiz kerak. Kesishish nuqtalari ikkita egri chiziqning kesishgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita tenglamani tenglashtirish va yechishdir. Shunday qilib,

\[3 - {y^2} = - 1\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{y^2} = 4\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = - 2,\,\,\,\,y = 2\]

Shunday qilib, $y$ limitlari: $ - 2 \le y \le 2$.

3-qadam

Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[A = \int_{{ - 2}}^{2}{{3 - {y^2} - \left( { - 1} \right)\,dy}} = \int_{{ - 2}}^{2}{{4 - {y^2}dy}} = \left. {\left( {4y - \frac{1}{3}{y^3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{32}}{3}}}\]