AreaBetweenCurves - 11-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

11. $x = {{\bf{e}}^{1 + 2y}}$, $x = {{\bf{e}}^{1 - y}}$, $y = - 2$ va $y = 1$ bilan chegaralangan hudud maydonini aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graphs of $x = {{\bf{e}}^{1 + 2y}}$ and $x = {{\bf{e}}^{1 - y}}$ together with the horizontal lines $y = - 2$ and $y = 1$, with the bounded region shaded in. The two curves cross at $y = 0$. Below $y = 0$ the curve $x = {{\bf{e}}^{1 + 2y}}$ is on the left and $x = {{\bf{e}}^{1 - y}}$ is on the right, while above $y = 0$ the two swap so that $x = {{\bf{e}}^{1 - y}}$ is on the left and $x = {{\bf{e}}^{1 + 2y}}$ is on the right.$

2-qadam

Muammo bayonotida bizga $y$-da ikkita chegara berildi. Biroq, yuqoridagi grafikning eskizida ko'rinib turibdiki, egri chiziqlar ushbu mintaqada kesishadi va o'ng/chap funktsiyalar biz qidirayotgan $y$ diapazoniga qarab farqlanadi.

Shuning uchun biz kesishish nuqtasini topishimiz kerak. Biroq, biz hech qachon bizning grafigimiz to'g'ri deb o'ylamasligimiz kerak yoki biz uni grafikdan koordinatalarni taxmin qilish uchun etarlicha aniq o'qiy olamiz. Bu holda, kesishish nuqtasi $x$ o'qida joylashganligi grafikdan juda aniq ko'rinadi (va shuning uchun bizga kerak bo'lgan nuqta $y = 0$ ekanligini taxmin qilishimiz mumkin). Biroq, biz hammamiz bilamizki, haqiqiy kesishish nuqtasi $x$ o'qidan bir oz yuqori yoki biroz pastroq va grafik shkalasi buni ko'rishni qiyinlashtiradi.

Shunday qilib, kesishish nuqtalarini to'g'ri aniqlash uchun biz uni to'g'ridan-to'g'ri topishimiz kerak. Kesishish nuqtasi ikkita egri chiziqning kesishgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita tenglamani tenglashtirish va yechishdir. Shunday qilib,

\[{{\bf{e}}^{1 + 2y}} = {{\bf{e}}^{1 - y}}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\frac{{{{\bf{e}}^{1 + 2y}}}}{{{{\bf{e}}^{1 - y}}}} = 1\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}\,{{\bf{e}}^{3y}} = 1\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}y = 0\]

Shunday qilib, grafikdan bizga ikkita integral kerak bo'ladi, chunki $x$ ($ - 2 \le x \le 0$ va $0 \le x \le 1$) ning o'ng/chap funktsiyalari har xil bo'lgan ikkita diapazoni mavjud.

3-qadam

Ayni paytda integrallarni oshirish va ularni baholashdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[\begin{align*}A & = \int_{{ - \,2}}^{0}{{{{\bf{e}}^{1 - y}} - {{\bf{e}}^{1 + 2y}}\,dy}} + \int_{0}^{1}{{{{\bf{e}}^{1 + 2y}} - {{\bf{e}}^{1 - y}}\,dy}}\\ & = \left. {\left( { - {{\bf{e}}^{1 - y}} - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{1 + 2y}}} \right)} \right|_{ - \,2}^0 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{{\bf{e}}^{1 + 2y}} + {{\bf{e}}^{1 - y}}} \right)} \right|_0^1\\ & = \left[ {{{\bf{e}}^3} + \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - 3}} - \frac{3}{2}{\bf{e}}} \right] + \left[ {1 + \frac{1}{2}{{\bf{e}}^3} - \frac{3}{2}{\bf{e}}} \right] = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{22.9983}}\end{align*}\]