AreaBetweenCurves - 10-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

10. $x = {y^2} + 1$, $x = 5$, $y = - 3$ va $y = 3$ bilan chegaralangan mintaqa maydonini aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graph of the parabola $x = {y^2} + 1$, which opens to the right with vertex at $\left( {1,0} \right)$, together with the vertical line $x = 5$ and the horizontal lines $y = - 3$ and $y = 3$. The bounded region is shaded in. Between $y = - 2$ and $y = 2$ the parabola is on the left and the line $x = 5$ is on the right, but outside that range the parabola has crossed to the right of $x = 5$ so the line is on the left and the parabola is on the right.$

2-qadam

Muammo bayonotida bizga $y$-da ikkita chegara berildi. Biroq, yuqoridagi grafikning eskizida ko'rinib turibdiki, egri chiziqlar ushbu mintaqada kesishadi va o'ng/chap funktsiyalar biz qidirayotgan $y$ diapazoniga qarab farqlanadi.

Shuning uchun biz kesishish nuqtalarini topishimiz kerak. Biroq, biz hech qachon bizning grafigimiz to'g'ri deb o'ylamasligimiz kerak yoki biz uni grafikdan koordinatalarni taxmin qilish uchun etarlicha aniq o'qiy olamiz. Bu, ayniqsa, ikkita egri chiziqning kesishish nuqtalari o'qda bo'lmaganda to'g'ri keladi (bu holda ular bunday bo'lmaydi).

Shunday qilib, kesishish nuqtalarini to'g'ri aniqlash uchun biz ularni to'g'ridan-to'g'ri topishimiz kerak. Kesishish nuqtalari ikkita egri chiziqning kesishgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita tenglamani tenglashtirish va yechishdir. Shunday qilib,

\[{y^2} + 1 = 5\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{y^2} = 4\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = - 2,\,\,\,\,y = 2\]

E'tibor bering, agar siz qo'lda grafik chizayotgan bo'lsangiz, birinchi qadamda kesishish nuqtalarini aniqlagan bo'lishingiz mumkin.

Shunday qilib, grafikdan bizga uchta integral kerak bo'ladi, chunki $x$ ning uchta diapazoni ($ - 3 \le x \le - 2$, $ - 2 \le x \le 2$ va $2 \le x \le 3$) mavjud bo'lib, ular uchun o'ng/chap funktsiyalari farqlanadi.

3-qadam

Ayni paytda integrallarni oshirish va ularni baholashdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[\begin{align*}A & = \int_{{ - 3}}^{{ - 2}}{{{y^2} + 1 - 5\,dy}} + \int_{{ - 2}}^{2}{{5 - \left( {{y^2} + 1} \right)\,dy}} + \int_{2}^{3}{{{y^2} + 1 - 5\,dy}}\\ & = \int_{{ - 3}}^{{ - 2}}{{{y^2} - 4\,dy}} + \int_{{ - 2}}^{2}{{4 - {y^2}\,dy}} + \int_{2}^{3}{{{y^2} - 4\,dy}}\\ & = \left. {\left( {\frac{1}{3}{y^3} - 4y} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 2} + \left. {\left( {4y - \frac{1}{3}{y^3}} \right)} \right|_{ - 2}^{ 2} + \left. {\left( {\frac{1}{3}{y^3} - 4y} \right)} \right|_2^3\\ & = \frac{7}{3} + \frac{{32}}{3} + \frac{7}{3} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{46}}{3}}}\end{align*}\]