AreaBetweenCurves - 1-masala yechimi | MathModel.uz

6.2-bo'lim : Egri chiziqlar orasidagi maydon

1. $f\left( x \right) = 3 + 2x - {x^2}$ ostidagi va $x$ o'qi ustidagi maydonni aniqlang.

Yechim

Keling, biz maydonini topmoqchi bo'lgan hududning eskizini olishdan boshlaylik.

Biz taxmin qilamizki, bu vaqtda siz biz ushbu muammolar bilan shug'ullanadigan asosiy funktsiyalarning ko'pchiligini grafikalashtira olasiz va shuning uchun biz bu erda hech qanday grafik ishini ko'rsatmaymiz.

Bu erda biz maydonini topmoqchi bo'lgan chegaralangan mintaqaning eskizi.

$The graph of $f\left( x \right) = 3 + 2x - {x^2}$. It is a downward opening parabola with vertex at $\left( {1,4} \right)$ that crosses the x-axis at $\left( { - 1,0} \right)$ and $\left( {3,0} \right)$. The region between the parabola and the x-axis, running from $x = - 1$ to $x = 3$, is shaded in.$

2-qadam

Grafikdan ko'rinib turibdiki, yuqori funktsiya parabola (i.e. $y = 3 + 2x - {x^2}$) va pastki funksiya $x$ o'qi (i.e. $y = 0$).

Muammo bayonotida bizga $x$ uchun hech qanday limitlar berilmaganligi sababli, biz ularni olishimiz kerak. Grafikdan chegaralar (ehtimol) $ - 1 \le x \le 3$ kabi ko'rinadi. Biroq, biz hech qachon bizning grafik to'g'ri yoki uni to'g'ri o'qiy oldik deb o'ylamasligimiz kerak. Biz hammamiz bilamizki, chegaralar grafikdan biz taxmin qilganlarga yaqin, lekin aslida biroz farq qiladi.

Shunday qilib, biz chegaralarni grafikdan to'g'ri taxmin qilganimizni aniqlash uchun ularni to'g'ridan-to'g'ri topamiz. Chegaralar parabolaning $x$ o'qini kesib o'tgan joyidir va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa parabolani nolga tenglashtirish (i.e. qaerda $y = 0$ chizig'ini kesib o'tadi) va yechish. Shunday qilib,

\[3 + 2x - {x^2} = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 1,\,\,\,\,x = 3\]

Shunday qilib, biz to'g'ri taxmin qildik, ammo ishonch hosil qilish hech qachon zarar qilmaydi. Bu, ayniqsa, ularni to'g'ridan-to'g'ri topish deyarli vaqt talab qilmaydigan bu erda to'g'ri keladi.

3-qadam

Hozirgi vaqtda integralni oshirish va uni baholashdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.

Biz integratsiyaning asosiy usullarini yaxshi bilasiz deb o‘ylaymiz, shuning uchun biz bu yerda haqiqiy integratsiya jarayonini muhokama qilmaymiz va ba’zi oraliq bosqichlarni o‘tkazib yuboramiz.

Hudud,

\[A = \int_{{ - 1}}^{3}{{3 + 2x - {x^2}\,dx}} = \left. {\left( {3x + {x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^3 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{32}}{3}}}\]