4.4-bo'lim : Mutlaq ekstremallarni topish
9. \(\left[ { - 10,0} \right]\) da \(\displaystyle f\left( z \right) = \frac{{z + 4}}{{2{z^2} + z + 8}}\) ning absolyut ekstremasini aniqlang.
Yechim
Birinchidan, biz ratsional ifoda bilan ishlayotganimizga e'tibor bering, unda ayirma va maxraj hamma joyda uzluksiz bo'ladi. Bundan tashqari, ratsional ifoda intervalning barcha nuqtalarida mavjudligiga e'tibor bering va shuning uchun berilgan intervalda uzluksiz bo'ladi. Eslatib o'tamiz, bu juda muhim, chunki biz mutlaq ekstremal haqiqatda mavjud bo'lishini bilamiz Ekstremal qiymat teoremasi!
Endi biz mutlaq ekstremalarning berilgan oraliqda mavjudligini bilganimizdan so'ng, biz funktsiyaning kritik nuqtalarini topishimiz kerak.
Ushbu bo'limning maqsadi mutlaq ekstremallarni topish ekanligini hisobga olsak, biz muhim nuqta bosqichlariga ko'p ish/tushuntirishni qo'ymaymiz. Agar sizga muhim nuqtalarni topish uchun mashq kerak bo'lsa, iltimos, orqaga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni hal qiling.
Mana bu funktsiya uchun muhim nuqtalar.
\[\begin{align*}f'\left( z \right) & = \frac{{\left( 1 \right)\left( {2{z^2} + z + 8} \right) - \left( {z + 4} \right)\left( {4z + 1} \right)}}{{{{\left( {2{z^2} + z + 8} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{ - 2\left( {{z^2} + 8z - 2} \right)}}{{{{\left( {2{z^2} + z + 8} \right)}^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,z = \frac{- 8 \pm \sqrt {72}}{2} = - 4 \pm 3\sqrt 2 = - 8.2426,\,\,\,0.2426\end{align*}\]2-qadam
Keling, eslaylikki, bizni faqat berilgan oraliqdagi kritik nuqtalar qiziqtiradi va shuning uchun bu holda bizga kerak bo'lgan yagona muhim nuqta,
\[z = - 4 - 3\sqrt 2 = - 8.2426\]3-qadam
Keyingi qadam funksiyani ikkinchi bosqichdan boshlab kritik nuqtada va berilgan intervalning oxirgi nuqtalarida baholashdan iborat. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[f\left( { - 10} \right) = - {\frac{1}{33}} = - 0.0303\hspace{0.5in}f\left( { - 8.2426} \right) = - 0.03128\hspace{0.5in}f\left( 0 \right) = {\frac{1}{2}}\]4-qadam
Yakuniy bosqich mutlaq ekstremalni aniqlashdir. Shunday qilib, bu muammoning javoblari,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Absolute Maximum : }} & {\frac{1}{2}}{\mbox{ at }}z = 0\\ {\mbox{Absolute Minimum : }} & - 0.03128{\mbox{ at }}z = - 4 - 3\sqrt 2 \end{align*}}\]Ushbu muammo bilan intervalgacha e'tibor berish muhimligiga e'tibor bering. Agar biz \(z = - 4 + 3\sqrt 2 = 0.2426\) ni chiqarib tashlashni e'tiborsiz qoldirganimizda, mutlaq maksimal uchun noto'g'ri javob olgan bo'lardik.
Bu muammo, shuningdek, javoblarimizni haddan tashqari yaxlitlashda juda ehtiyot bo'lishimiz kerakligini ko'rsatadi. Agar biz 2 kasrni aytish uchun yaxlitlaganimizda, mutlaq minimum ikki joyda sodir bo'lgan, deb aytishga vasvasaga tushgan bo'lardik, aslida nuqtalardan biri boshqasidan pastroq edi.