4.4-bo'lim : Mutlaq ekstremallarni topish
7. \(\left[ { - 3,3} \right]\) da \(Q\left( x \right) = {\left( {2 - 8x} \right)^4}{\left( {{x^2} - 9} \right)^3}\) ning absolyut ekstremasini aniqlang.
Yechim
Birinchidan, biz ko'phad bilan ishlayotganimizga e'tibor bering va bu hamma joyda uzluksiz va shuning uchun berilgan oraliqda uzluksiz bo'ladi. Eslatib o'tamiz, bu juda muhim, chunki biz mutlaq ekstremal haqiqatda mavjud bo'lishini bilamiz Ekstremal qiymat teoremasi!
Endi biz mutlaq ekstremalarning berilgan oraliqda mavjudligini bilganimizdan so'ng, biz funktsiyaning kritik nuqtalarini topishimiz kerak.
Ushbu bo'limning maqsadi mutlaq ekstremallarni topish ekanligini hisobga olsak, biz muhim nuqta bosqichlariga ko'p ish/tushuntirishni qo'ymaymiz. Agar sizga muhim nuqtalarni topish uchun mashq kerak bo'lsa, iltimos, orqaga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni hal qiling.
Mana bu funktsiya uchun muhim nuqtalar.
\[\begin{align*}Q'\left( x \right) & = 4\left( { - 8} \right){\left( {2 - 8x} \right)^3}{\left( {{x^2} - 9} \right)^3} + 3\left( {2x} \right){\left( {2 - 8x} \right)^4}{\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\\ & = - 4{\left( {2 - 8x} \right)^3}{\left( {{x^2} - 9} \right)^2}\left( {20{x^2} - 3x - 72} \right)\\ & = 0\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}x = {\frac{1}{4}},\,\,\,\,x = \pm \,3,\,\,\,\,x = \frac{3 \pm \sqrt {5769}}{40} = - 1.8239,\,\,1.9739\end{align*}\]2-qadam
Endi eslaylikki, bizni faqat berilgan oraliqdagi kritik nuqtalar qiziqtiradi, shuning uchun bu holda bizga birinchi bosqichdan boshlab barcha kritik nuqtalar kerak bo'ladi.
\[x = {\frac{1}{4}},\,\,\,\,x = \pm \,3,\,\,\,\,x = \frac{3 \pm \sqrt {5769}}{40} = - 1.8239,\,\,1.9739\]Intervalning ikkala oxirgi nuqtasi ham tanqidiy nuqtalar ekanligidan hayajonlanmang. Bu ba'zan sodir bo'ladi va bu holda keyingi bosqichda talab qilinadigan hisoblar sonini 2 ga kamaytiradi va bu yomon emas.
3-qadam
Keyingi qadam funksiyani ikkinchi bosqichdan boshlab kritik nuqtalarda va berilgan intervalning oxirgi nuqtalarida baholashdan iborat. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[Q\left( { - 3} \right) = 0\,\,\,\,\,\,Q\left( { - 1.8239} \right) = - 1.38 \times {10^7}\,\,\,\,\,Q\left( {{\frac{1}{4}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,Q\left( {1.9739} \right) = - 4.81 \times {10^6}\,\,\,\,\,Q\left( 3 \right) = 0\]Ikki nolga teng bo'lmagan funksiya qiymatlari uchun katta raqamlardan hayajonlanmang. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladigan narsa va biz bu sodir bo'lganda tashvishlanmasligimiz kerak.
4-qadam
Yakuniy bosqich mutlaq ekstremalni aniqlashdir. Shunday qilib, bu muammoning javoblari,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Absolute Maximum : }} & 0 {\mbox{ at }}x = - 3,\,\,\,x = {\frac{1}{4}},\,\,x = 3\\ {\mbox{Absolute Minimum : }} & - 1.38 \times {10^7}{\mbox{ at }}x = - 1.8239\end{align*}}\]Eslatib o'tamiz, biz faqat bitta eng katta qiymatga ega bo'lishimiz mumkin (i.e. faqat bitta mutlaq maksimal) birdan ortiq nuqtada sodir bo'lishi to'liq mumkin (bu holda 3 nuqta).