4.4-bo'lim : Mutlaq ekstremallarni topish
13. \(\left[ { - 4,2} \right]\) da \(R\left( x \right) = \ln \left( {{x^2} + 4x + 14} \right)\) ning absolyut ekstremasini aniqlang.
Yechim
Birinchidan, biz argumenti har doim oraliqda musbat bo'lgan ko'pnom (u hamma joyda uzluksiz) bo'lgan logarifm bilan ishlayotganimizga e'tibor bering. Shu sababli funksiya berilgan intervalda uzluksiz bo‘lishini ko‘rishimiz mumkin. Eslatib o'tamiz, bu juda muhim, chunki biz mutlaq ekstremal haqiqatda mavjud bo'lishini bilamiz Ekstremal qiymat teoremasi!
Endi biz mutlaq ekstremalarning berilgan oraliqda mavjudligini bilganimizdan so'ng, biz funktsiyaning kritik nuqtalarini topishimiz kerak.
Ushbu bo'limning maqsadi mutlaq ekstremallarni topish ekanligini hisobga olsak, biz muhim nuqta bosqichlariga ko'p ish/tushuntirishni qo'ymaymiz. Agar sizga muhim nuqtalarni topish uchun mashq kerak bo'lsa, iltimos, orqaga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni hal qiling.
Mana bu funktsiya uchun muhim nuqtalar.
\[R'\left( x \right) = \frac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 14}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\,\,x = - 2\]2-qadam
Endi eslaylikki, bizni faqat berilgan oraliqdagi kritik nuqtalar qiziqtiradi, shuning uchun bu holda bizga kerak bo'lgan muhim nuqta,
\[x = - 2\]3-qadam
Keyingi qadam funksiyani ikkinchi bosqichdan boshlab kritik nuqtalarda va berilgan intervalning oxirgi nuqtalarida baholashdan iborat. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[R\left( { - 4} \right) = 2.6391\hspace{0.5in}R\left( { - 2} \right) = 2.3026\hspace{0.5in}R\left( 2 \right) = 3.2581\]4-qadam
Yakuniy bosqich mutlaq ekstremalni aniqlashdir. Shunday qilib, bu muammoning javoblari,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Absolute Maximum : }} & 3{\mbox{.2581 at }}x = 2\\ {\mbox{Absolute Minimum : }} & 2.3026{\mbox{ at }}x = - 2\end{align*}}\]