4.4-bo'lim : Mutlaq ekstremallarni topish
12. \(\left[ { - {\displaystyle \frac{1}{2}},\,\,{\displaystyle \frac{5}{2}}} \right]\) da \(g\left( w \right) = {{\bf{e}}^{{w^{\,3}} - 2{w^{\,2}} - 7w}}\) ning absolyut ekstremasini aniqlang.
Yechim
Birinchidan, ko'rsatkichdagi ko'phadli eksponensial funktsiya bilan ishlayotganimizga e'tibor bering. Ko'rsatkich hamma joyda uzluksiz va shuning uchun biz ko'rsatkichli funktsiya hamma joyda ham uzluksiz bo'lishini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun funksiya berilgan intervalda uzluksiz bo'ladi. Eslatib o'tamiz, bu juda muhim, chunki biz mutlaq ekstremal haqiqatda mavjud bo'lishini bilamiz Ekstremal qiymat teoremasi!
Endi biz mutlaq ekstremalarning berilgan oraliqda mavjudligini bilganimizdan so'ng, biz funktsiyaning kritik nuqtalarini topishimiz kerak.
Ushbu bo'limning maqsadi mutlaq ekstremallarni topish ekanligini hisobga olsak, biz muhim nuqta bosqichlariga ko'p ish/tushuntirishni qo'ymaymiz. Agar sizga muhim nuqtalarni topish uchun mashq kerak bo'lsa, iltimos, orqaga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni hal qiling.
Mana bu funktsiya uchun muhim nuqtalar.
\[\begin{align*}g'\left( w \right) & = \left( {3{w^2} - 4w - 7} \right){{\bf{e}}^{{w^{\,3}} - 2{w^{\,2}} - 7w}}\\ & = \left( {w + 1} \right)\left( {3w - 7} \right){{\bf{e}}^{{w^{\,3}} - 2{w^{\,2}} - 7w}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\hspace{0.25in} \Rightarrow \,\,\,\,\hspace{0.25in}w = - 1,\,\,\,w = {\frac{7}{3}}\end{align*}\]2-qadam
Keling, eslaylikki, bizni faqat berilgan oraliqdagi kritik nuqtalar qiziqtiradi va shuning uchun bu holda bizga kerak bo'lgan yagona muhim nuqta,
\[w = {\frac{7}{3}}\]3-qadam
Keyingi qadam funksiyani ikkinchi bosqichdan boshlab kritik nuqtada va berilgan intervalning oxirgi nuqtalarida baholashdan iborat. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[g\left( { - {\frac{1}{2}}} \right) = {{\bf{e}}^{\,{\frac{23}{8}}}} \hspace{0.25in} g\left( {{\frac{7}{3}}} \right) = {{\bf{e}}^{ - {\frac{392}{27}}}} \hspace{0.25in} g\left( {{\frac{5}{2}}} \right) = {{\bf{e}}^{ - \,\,{\frac{115}{8}}}}\]4-qadam
Yakuniy bosqich mutlaq ekstremalni aniqlashdir. Shunday qilib, bu muammoning javoblari,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Absolute Maximum : }} & {{\bf{e}}^{{\frac{23}{8}}}}{\mbox{ at }}w = - {\frac{1}{2}}\\ {\mbox{Absolute Minimum : }}& {{\bf{e}}^{ - {\frac{392}{27}}}}{\mbox{ at }}w = {\frac{7}{3}}\end{align*}}\]Ushbu muammo bilan intervalgacha e'tibor berish muhimligiga e'tibor bering. Agar biz \(w = - 1\) ni chiqarib tashlashni e'tiborsiz qoldirganimizda, mutlaq maksimal xatoga yo'l qo'ygan bo'lardik.
Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu muammo bilan yaxlitlashda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Salbiy darajali eksponentlarning ikkalasi ham juda kichik va yaxlitlash bu erda ba'zi haqiqiy muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. Biroq, baribir buning uchun hech qanday kalkulyator ishini bajarishimiz shart emas. Eslatib o'tamiz, ko'rsatkich qanchalik salbiy bo'lsa, ko'rsatkich shunchalik kichik bo'ladi.
Shunday qilib, \({\frac{392}{27}} > {\frac{115}{8}}\) bizda \({{\bf{e}}^{ - \,\,{\frac{392}{27}}}} < {{\bf{e}}^{ - \,\,{\frac{115}{8}}}}\) bo'lishi kerak.