Birinchidan, biz sinus funktsiyasi bilan ishlayotganimizga e'tibor bering va bu hamma joyda uzluksiz va shuning uchun berilgan intervalda uzluksiz bo'ladi. Eslatib o'tamiz, bu juda muhim, chunki biz mutlaq ekstremal haqiqatda mavjud bo'lishini bilamiz Ekstremal qiymat teoremasi!

Endi biz mutlaq ekstremalarning berilgan oraliqda mavjudligini bilganimizdan so'ng, biz funktsiyaning kritik nuqtalarini topishimiz kerak.

Ushbu bo'limning maqsadi mutlaq ekstremallarni topish ekanligini hisobga olsak, biz muhim nuqta bosqichlariga ko'p ish/tushuntirishni qo'ymaymiz. Agar sizga muhim nuqtalarni topish uchun mashq kerak bo'lsa, iltimos, orqaga qayting va ushbu bo'limdagi ba'zi muammolarni hal qiling.

Mana bu funktsiya uchun muhim nuqtalar.

\[f'\left( y \right) = {\displaystyle \frac{1}{3}}\cos \left( {{\displaystyle \frac{y}{3}}} \right) + {\displaystyle \frac{2}{9}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\cos \left( {{\displaystyle \frac{y}{3}}} \right) = - {\displaystyle \frac{2}{3}}\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,{\displaystyle \frac{y}{3}} = {\cos ^{ - 1}}\left( { - {\displaystyle \frac{2}{3}}} \right) = 2.3005\] \[\begin{array}{*{20}{c}}{{\displaystyle \frac{y}{3}} = 2.3005 + 2\pi n}\\{{\displaystyle \frac{y}{3}} = 3.9827 + 2\pi n}\end{array}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{y = 6.9016 + 6\pi n}\\{y = 11.9481 + 6\pi n}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm , \ldots \]

Agar sizga trig tenglamalarini echish bo'yicha ko'rib chiqish kerak bo'lsa, iltimos, "Ko'rib chiqish" bo'limiga qayting va Trig tenglamalarini echish bo'limlaridagi ba'zi masalalarni ishlang.

2-qadam

Endi eslaylikki, bizni aslida faqat berilgan oraliqdagi kritik nuqtalar qiziqtiradi va shuning uchun bu holda bizga kerak bo'lgan muhim nuqtalar:

\[y = - 6.9016,\,\,\,\,\,\,y = 6.9016,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 11.9481\]

E'tibor bering, biz ushbu qiymatlarni yuqoridagi echimlarga \(n\) qiymatlarini kiritish va natijalarni berilgan interval bilan tekshirish orqali oldik.

3-qadam

Keyingi qadam funksiyani ikkinchi bosqichdan boshlab kritik nuqtalarda va berilgan intervalning oxirgi nuqtalarida baholashdan iborat. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.

\[\begin{array}{c}f\left( { - 10} \right) = - 2.0317\,\,\,\,\,\,f\left( { - 6.9016} \right) = - 2.2790\,\,\,\,\,f\left( {6.9016} \right) = 2.2790\\ f\left( {11.9481} \right) = 1.9098\,\,\,\,\,f\left( {15} \right) = 2.3744\end{array}\]

4-qadam

Yakuniy bosqich mutlaq ekstremalni aniqlashdir. Shunday qilib, bu muammoning javoblari,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}{\mbox{Absolute Maximum : }}& 2 {\mbox{.3744 at }}y = 15\\ {\mbox{Absolute Minimum : }} & - 2.2790{\mbox{ at }}y = - 6.9016\end{align*}}\]

Ushbu muammo bilan intervalgacha e'tibor berish muhimligiga e'tibor bering. Agar intervalsiz biz cheksiz ko'p tanqidiy nuqtalarga ega bo'lardik. Bundan tashqari, intervalsiz (funktsiyaning tezkor grafigi ko'rsatilganidek) bu funktsiya uchun mutlaq ekstremal bo'lmaydi.