7.2-bo'lim : Uch o'zgaruvchiga ega chiziqli tizimlar
2. Quyidagi tenglamalar sistemasining yechimini toping.
\[\begin{align*}3x - 9z & = 33\\ 7x - 4y - z & = - 15\\ 4x + 6y + 5z & = - 6\end{align*}\]Yechim
Ushbu tizimni hal qilish jarayonini boshlashdan oldin, biz "bitta to'g'ri yechim yo'li" yo'qligini aniq ko'rsatishimiz kerak. Ushbu tizimga yechim topish uchun ko'plab yechim yo'llari mavjud. Hammasi to'g'ri va barchasi tizimga bir xil yechim bilan yakunlanadi (agar ish to'g'ri bajarilgan bo'lsa, albatta...).
OK, keling, ushbu tizimni hal qilishni boshlaylik.
Bu tizim uchun biz \(x\) uchun birinchi tenglamani osonlikcha yechishimiz va faqat \(z\) ni o'z ichiga olgan tenglamani olishimiz mumkin, uni o'z navbatida ikkinchi va uchinchi tenglamaga kiritishimiz mumkin.
Mana \(x\) uchun yechilgan birinchi tenglama.
\[\begin{align*}3x - 9z & = 33\\ 3x & = 9z + 33\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 3z + 11\end{align*}\]2-qadam
Yuqorida topilgan tenglamani ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo'shib, biroz soddalashtirsak,
\[\begin{array}{*{20}{c}}{7\left( {3z + 11} \right) - 4y - z = - 15}\\{4\left( {3z + 11} \right) + 6y + 5z = - 6}\end{array}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4y + 20z = - 92}\\{6y + 17z = - 50}\end{array}\]3-qadam
Endi e'tibor bering, agar yuqoridagi birinchi tenglamani 3 ga, ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytirsak, natijalarni qo'shganda \(y\) ni bekor qilishimiz mumkin. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*} -4y+20z & =-92 & \underrightarrow{\times \,\,3} & & -12y+60z=-276 \\ 6y+17z & =-50 & \underrightarrow{\times \,\,2} & & \underline{12y+34z=-100} \\ & & & & 94z=-376 \end{align*}\]4-qadam
Yuqoridagi tenglamadan bizda \(z = - 4\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.
5-qadam
Biz \(z = - 4\) ni 2-bosqichda olingan tenglamalardan biriga ulashimiz va \(y\) ni hal qilishimiz mumkin. Ushbu taklif uchun biz ikkinchi tenglamadan foydalanamiz.
\[6y + 17\left( { - 4} \right) = - 50\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = 3\]6-qadam
Nihoyat, \(x\) qiymatini aniqlash uchun biz 1-bosqichda olgan \(z = - 4\) ni ulang.
\[x = 3\left( { - 4} \right) + 11 = - 1\]Tizimning yechimi quyidagicha bo'ladi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - 1,\,\,y = 3,\,\,z = - 4}}\).