7.2-bo'lim : Uch o'zgaruvchiga ega chiziqli tizimlar
1. Quyidagi tenglamalar sistemasining yechimini toping.
\[\begin{align*}2x + 5y + 2z & = - 38\\ 3x - 2y + 4z & = 17\\ - 6x + y - 7z & = - 12\end{align*}\]Yechim
Ushbu tizimni hal qilish jarayonini boshlashdan oldin, biz "bitta to'g'ri yechim yo'li" yo'qligini aniq ko'rsatishimiz kerak. Ushbu tizimga yechim topish uchun ko'plab yechim yo'llari mavjud. Hammasi to'g'ri va barchasi tizimga bir xil yechim bilan yakunlanadi (agar ish to'g'ri bajarilgan bo'lsa, albatta...).
OK, keling, ushbu tizimni hal qilishni boshlaylik.
Ushbu tizim uchun birinchi tenglamani 3 ga, ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytirsak, bu tenglamalarning ikkalasida ham \(x\) koeffitsientlari 6 ga teng bo'ladi, agar ularning har biriga uchinchi tenglamani qo'shsak, ularni yo'q qilishimiz mumkin.
Shunday qilib, birinchi navbatda ko'paytirishni qilaylik.
\[\begin{align*} 2x+5y+2z &=-38 & \underrightarrow{\times \,\,3} & \hspace{0.25in} & 6x+15y+6z & =-114 \\ 3x-2y+4z & =17 & \underrightarrow{\times \,\,2} & \hspace{0.25in} & 6x-4y+8z & =34 \\ -6x+y-7z & =-12 & \underrightarrow{\text{same}} & \hspace{0.25in} & -6x+y-7z & =-12 \\ \end{align*}\]2-qadam
Xo'sh, endi biz birinchi tenglamani birinchi va uchinchi tenglamaning yig'indisi bilan almashtiramiz va ikkinchi tenglamani ikkinchi va uchinchi tenglamaning yig'indisi bilan almashtiramiz. Mana bu operatsiyalarni bajarish natijasi.
\[\begin{align*}16y - z & = - 126\\ - 3y + z & = 22\\ - 6x + y - 7z & = - 12\end{align*}\]3-qadam
Keyingi e'tibor bering, biz \(z\) ni birinchi tenglamadan oddiygina birinchi va ikkinchi tenglamalar yig'indisi bilan almashtirib chiqarib tashlashimiz mumkin. Mana bu operatsiya natijasi.
\[\begin{align*}13y\,\,\,\,\,\,\,\,\, & = - 104\\ - 3y + z & = 22\\ - 6x + y - 7z & = - 12\end{align*}\]4-qadam
OK, birinchi tenglamadan biz \(y = - 8\)ga ega bo'lishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin.
5-qadam
Biz \(y = - 8\) ni ikkinchi tenglamaga ulab, \(z\) uchun echishimiz mumkin.
\[ - 3\left( { - 8} \right) + z = 22\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}z = - 2\]6-qadam
Nihoyat, \(y = - 8\) va \(z = - 2\) ni uchinchi tenglamaga ulang va \(x\) ni hal qiling.
\[\begin{align*} - 6x + \left( { - 8} \right) - 7\left( { - 2} \right) & = - 12\\ - 6x + 6 & = - 12\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 3\end{align*}\]Tizimning yechimi quyidagicha bo'ladi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 3,\,\,y = - 8,\,\,z = - 2}}\).