2.6-bo'lim : Kvadrat tenglamalar - II qism
6. Kvadratni to‘ldirib, quyidagi kvadrat tenglamani yeching.
\[{x^2} + 9x + 16 = 0\]Yechim
Birinchidan, tenglamani barcha o'zgaruvchilar bir tomonda va raqam boshqa tomonda joylashgan shaklga keltiramiz. Shunday qilib,
\[{x^2} + 9x = - 16\]2-qadam
Endi biz tenglamaning chap tomonidagi ifodadagi kvadratni to'ldirishimiz mumkin.
Buni qilishimiz kerak bo'lgan raqam,
\[{\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( 9 \right)}^2}}}{{{{\left( 2 \right)}^2}}} = \frac{{81}}{4}\]3-qadam
Shu nuqtada biz bu erda tenglama borligini va tenglamaning bir tomoniga nima qilsak, ikkinchisini ham qilishimiz kerakligini esga olishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, 1-bosqichdagi tenglamaning ikkala tomoniga oldingi bosqichdagi raqamni qo'shishni unutmang.
\[\require{color}\begin{align*}{x^2} + 9x \,{\color{Red} + \frac{{81}}{4}} & = - 16 \,{\color{Red} + \frac{{81}}{4}}\\ {\left( {x + \frac{9}{2}} \right)^2} & = \frac{{17}}{4}\end{align*}\]4-qadam
Endi tenglamani yechish uchun faqat oldingi bosqichdagi tenglamada Kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanish kerak. Shunday qilib,
\[\begin{align*}x + \frac{9}{2} & = \pm \sqrt {\frac{{17}}{4}} = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{{\sqrt 4 }} = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\ x & = - \frac{9}{2} \pm \frac{{\sqrt {17} }}{2}\end{align*}\]Bu tenglamaning ikkita yechimi quyidagicha bo'ladi: \[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - \frac{9}{2} - \frac{{\sqrt {17} }}{2}\,\,{\mbox{and }}x = - \frac{9}{2} + \frac{{\sqrt {17} }}{2}}}\].
Ko'pincha, biz tenglamalarni echishda kvadratni to'ldirishda "tartibsiz" javoblarni olamiz. Bu juda qiziq emas, chunki kvadrat tenglamalarni echish bilan bog'liq ko'plab ilovalar bunday yechimga ega va shuning uchun biz bu bilan shug'ullanishimiz kerak bo'lgan narsadir.