Asosiy tarkibga o'tish

2.12-bo'lim : Ko'p nomli tengsizliklar

6. Quyidagi tengsizlikni yeching.

\[{t^4} + {t^3} - 12{t^2} < 0\]
Yechim

Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - tengsizlikning bir tomonida nolni olish (bu muammo uchun allaqachon bajarilgan) va keyin, agar iloji bo'lsa, ko'phadni ko'paytiring.

\[\begin{array}{c}{t^2}\left( {{t^2} + t - 12} \right) & < 0\\ {t^2}\left( {t + 4} \right)\left( {t - 3} \right) & < 0\end{array}\]
2-qadam

Bu tengsizlik bo'lishiga qaramay, birinchi navbatda ko'phad qayerda nolga teng ekanligini bilishimiz kerak. Faktorlarga ko'ra, biz ko'phad nolga teng bo'lishini tezda ko'rishimiz mumkin,

\[t = - 4\hspace{0.25in}t = 0\hspace{0.25in}t = 3\]

Esda tutingki, bu nuqtalar muhim, chunki ular tengsizlikning chap tomonidagi ko'phad belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joylardir. ko'phad qayerda manfiy ekanligini bilmoqchi ekanimizni hisobga olsak, ko'phad qayerda belgisini o‘zgartirishi mumkinligini bilish biz izlayotgan javobni aniqlashda katta yordam beradi.

3-qadam

Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan eslaylikki, oldingi bosqichdagi nuqtalar ko'phadning belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona joy bo'lganligi sababli, belgini tekshirish uchun har bir mintaqadan "sinov nuqtalarini" ko'phadga ulab, bu nuqtalarning har biri orasidagi diapazonda ko'phad ijobiy/manfiy ekanligini tezda aniqlashimiz mumkin.

Shunday qilib, keling, ko'phad nolga teng bo'lgan nuqtalar bilan tezkor raqamlar chizig'ini chizamiz. Shuningdek, biz raqamlar chizig'ida sinov nuqtasi hisoblarini ham ko'rsatamiz. Mana raqam chizig'i.

A number line for the inequality \({t^2}\left( {t + 4} \right)\left( {t - 3} \right) < 0\) with dashed vertical lines at \(t = - 4\), \(t = 0\) and \(t = 3\) dividing it into four regions. The test point \(t = - 5\) gives \({\left( { - 5} \right)^2}\left( { - 1} \right)\left( { - 8} \right) > 0\), the test point \(t = - 2\) gives \({\left( { - 2} \right)^2}\left( 2 \right)\left( { - 5} \right) < 0\), the test point \(t = 1\) gives \({\left( 1 \right)^2}\left( 5 \right)\left( { - 2} \right) < 0\), and the test point \(t = 4\) gives \({\left( 4 \right)^2}\left( 8 \right)\left( 1 \right) > 0\). Note that the squared term is positive at every test point.

Sinov nuqtalarini ulashda faktorlangan shakldagi birinchi atama bilan ehtiyot bo'ling! U kvadrat bo'lib, test nuqtalarining belgisidan qat'iy nazar har doim ijobiy bo'ladi. Talabalarning bunday muammo bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolaridan biri bu kvadratni o'tkazib yuborish va salbiy test nuqtasini ulashda bu atamani salbiy deb hisoblashdir.

4-qadam

Biz hozir qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa oldingi bosqichdagi raqamlar qatoridan yechim olishdir. Bu erda javobning tengsizlik va interval belgisi.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{array}{c} - 4 < t < 0\hspace{0.25in}{\mbox{and }}\hspace{0.25in}0 < t < 3\\ \left( { - 4,0} \right)\hspace{0.25in}{\mbox{and }}\hspace{0.25in}\left( {0,3} \right)\end{array}}\]

Javobingiz bilan ehtiyot bo'ling va \(t = 0\) ni qo'shmang! Javobni bitta tengsizlik/intervalga "soddalashtirish" uchun buni qilish vasvasasi bo'lishi mumkin, lekin ko'phad \(t = 0\) da nolga teng va biz faqat ko'phad qayerda manfiy ekanligini bilmoqchimiz! Shuning uchun biz \(t = 0\) ni javobimizga qo'sha olmaymiz va uni ikkita tengsizlik/interval sifatida yozishimiz kerak bo'ladi.