6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
9. Quyidagi tenglamani yeching.
\[2\log \left( x \right) - \log \left( {7x - 1} \right) = 0\]Yechim
Avval shuni ta'kidlaymizki, biz birinchi logarifm oldidagi 2 ni logarifmaga quyidagicha o'tkazishimiz mumkin:
\[\log \left( {{x^2}} \right) - \log \left( {7x - 1} \right) = 0\]Endi biz ikkita logarifmni birlashtirib olamiz:
\[\log \left( {\frac{{{x^2}}}{{7x - 1}}} \right) = 0\]2-qadam
Endi biz buni osongina eksponent shaklga o'tkazishimiz mumkin (esda tuting, chunki hech qanday asos yo'q, chunki u 10 deb taxmin qilinadi!).
\[\frac{{{x^2}}}{{7x - 1}} = {10^0} = 1\]3-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa 2-bosqichdagi tenglamani yechishdir va bu biz qanday echishni biladigan kvadrat tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}\frac{{{x^2}}}{{7x - 1}} & = 1\\ {x^2} & = 7x - 1\\ {x^2} - 7x + 1 & = 0\end{align*}\]Biz buni hisobga olmaymiz, lekin kvadrat formuladan foydalanishimiz mumkin. Buni qilish quyidagi ikkita raqamni beradi.
\[x = \frac{{7 \pm \sqrt {{7^2} - 4\left( 1 \right)\left( 1 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{7 \pm \sqrt {45} }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,x = 0.1459,\,\,\,\,\,\,\,x = 6.8541\]Buni hal qilish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kerakligi haqida tashvishlanmang. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi va biz bu sodir bo'lganda u bilan kurashishimiz kerak.
4-qadam
Yakuniy bosqich sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamlarning har birini olib, nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun ularni muammo bayonotidagi asl tenglamaga qo'shishimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = 0.1459:\)
\[\begin{align*}2\log \left( {0.1459} \right) - \log \left( {7\left( {0.1459} \right) - 1} \right) & = 0\\ 2\log \left( {0.1459} \right) - \log \left( {0.0213} \right) & = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]\(x = 6.8541:\)
\[\begin{align*}2\log \left( {6.8541} \right) - \log \left( {7\left( {6.8541} \right) - 1} \right) & = 0\\ 2\log \left( {6.8541} \right) - \log \left( {46.9787} \right) & = 0\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, ikkala raqam ham logarifmalarda manfiy sonlarni keltirib chiqarmaydi va shuning uchun ular aslida ikkala yechimdir (har bir muammo bilan sodir bo'lmaydi, shuning uchun har doim ham shunday bo'lishini kutmang!).
Demak, tenglamaning yechimlari quyidagicha bo'ladi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 0.1459}}\) va \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 6.8541}}\).