6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
8. Quyidagi tenglamani yeching.
\[\ln \left( {x - 1} \right) = 1 + \ln \left( {3x + 2} \right)\]Yechim
Birinchidan, shuni ta'kidlaymizki, agar biz o'ng tomondagi logarifmni chap tomonga siljitsak, chap tomondagi ikkita logarifmni birlashtirib olamiz:
\[\begin{align*}\ln \left( {x - 1} \right) & = 1 + \ln \left( {3x + 2} \right)\\ \ln \left( {x - 1} \right) - \ln \left( {3x + 2} \right) & = 1\\ \ln \left( {\frac{{x - 1}}{{3x + 2}}} \right) & = 1\end{align*}\]2-qadam
Endi biz buni osongina eksponensial shaklga o'tkazishimiz mumkin (esda tutingki, biz natural logarifm bilan ishlayotganimiz uchun asos \(\bf{e}\)!).
\[\frac{{x - 1}}{{3x + 2}} = {{\bf{e}}^1} = {\bf{e}}\]3-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 2-bosqichdagi tenglamani yechishdir va bu biz qanday echishni biladigan tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}\frac{{x - 1}}{{3x + 2}} & = {\bf{e}}\\ x - 1 & = {\bf{e}}\left( {3x + 2} \right)\\ x - 1 & = 3\,{\bf{e}}\,x + 2{\bf{e}}\\ x - 3\,{\bf{e}}\,x & = 1 + 2{\bf{e}}\\ \left( {1 - 3{\bf{e}}} \right)x & = 1 + 2{\bf{e}}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \frac{{1 + 2{\bf{e}}}}{{1 - 3{\bf{e}}}} = - 0.89961\end{align*}\]Tenglamadagi \(\bf{e}\) haqida hayajonlanmang. U xuddi 4 yoki 5 yoki boshqa raqam bo'lgani kabi ishlaydi. Yagona haqiqiy farq shundaki, javob biroz chalkash bo'lib, biz odatda bunday muammolarga duch kelamiz. Bundan tashqari, keyingi bosqich uchun bu turdagi raqamlarni o'nlik shaklga aylantirish yaxshiroqdir.
4-qadam
Yakuniy qadam sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamni olishimiz va nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun uni muammo bayonotidagi asl tenglamaga ulashimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = - 0.89961:\)
\[\begin{align*}\ln \left( { - 0.89961 - 1} \right) & = 1 + \ln \left( {3\left( { - 0.89961} \right) + 2} \right)\\ \ln \left( { - 1.89961} \right) & = 1 + \ln \left( { - 0.69883} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{NOT OKAY}}\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda biz 3-bosqichdan olgan yagona raqam logarifmalarda manfiy sonlarni hosil qildi va shuning uchun yechim bo'lishi mumkin emas. Bu biz uchun nimani anglatadi, bor yechim yo'q bu tenglamaga. Bu ba'zida sodir bo'ladi va biz bu haqda tashvishlanmasligimiz kerak.
Esda tutingki, dastlabki tenglamada tekshirishni amalga oshirish juda muhim. Birinchi bosqichda (bu erda biz ikkita logarifmni birlashtirdik) biz tenglamani o'zgartirdik va jarayonda aslida yechim bo'lmagan raqamni kiritdik.
Agar biz yechim ishida boshqa har qanday tenglamani tekshirganimizda, \(x = - 0.89961\) tenglamaning yechimi bo'lishi mumkin edi. Biroq, bu faqat bizdan yechishimiz so'ralgan asl tenglamani emas, balki "o'zgartirilgan" tenglamani tekshirganimiz uchundir.
Bu har doim yechim jarayonida tenglamalarni o'zgartirish xavfi. Afsuski, ko'plab logarifm tenglamalari bilan bu bizning yagona yechim yo'limiz va shuning uchun biz hal qilishga tayyor bo'lishimiz kerak bo'lgan narsadir.