6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
7. Quyidagi tenglamani yeching.
\[\log \left( x \right) = 2 - \log \left( {x - 21} \right)\]Yechim
Birinchidan, shuni ta'kidlaymizki, agar biz o'ng tomondagi logarifmni chap tomonga siljitsak, chap tomondagi ikkita logarifmni birlashtirib olamiz:
\[\begin{align*}\log \left( x \right) & = 2 - \log \left( {x - 21} \right)\\ \log \left( x \right) + \log \left( {x - 21} \right) & = 2\\ \log \left( {x\left( {x - 21} \right)} \right) & = 2\end{align*}\]2-qadam
Endi biz buni osongina eksponent shaklga o'tkazishimiz mumkin (esda tuting, chunki hech qanday asos yo'q, chunki u 10 deb taxmin qilinadi!).
\[x\left( {x - 21} \right) = {10^2} = 100\]3-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa 2-bosqichdagi tenglamani yechishdir va bu biz qanday echishni biladigan kvadrat tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}x\left( {x - 21} \right) & = 100\\ {x^2} - 21x - 100 & = 0\\ \left( {x - 25} \right)\left( {x + 4} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 25,\,\,\,\,x = - 4\end{align*}\]4-qadam
Yakuniy bosqich sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamlarning har birini olib, nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun ularni muammo bayonotidagi asl tenglamaga qo'shishimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = 25:\)
\[\begin{align*}\log \left( {25} \right) & = 2 - \log \left( {25 - 21} \right)\\ \log \left( {25} \right) & = 2 - \log \left( 4 \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]\(x = - 4:\)
\[\begin{align*}\log \left( { - 4} \right) & = 2 - \log \left( { - 4 - 21} \right)\\ \log \left( { - 4} \right) & = 2 - \log \left( { - 25} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{NOT OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, yagona raqam logarifmalarda manfiy sonlarni keltirmadi, shuning uchun yagona son yechim bo'ladi. Logarifmada manfiy sonlarni hosil qilgan son yechim emas.
Shuning uchun tenglamaning yagona yechimi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 25}}\).
Esda tutingki, dastlabki tenglamada tekshirishni amalga oshirish juda muhim. Birinchi bosqichda (bu erda biz ikkita logarifmni birlashtirdik) biz tenglamani o'zgartirdik va jarayonda aslida yechim bo'lmagan raqamni kiritdik.
Agar biz yechim ishida boshqa har qanday tenglamani tekshirganimizda, \(x = - 4\) tenglamaning yechimi bo'lar edi. Biroq, bu faqat bizdan yechishimiz so'ralgan asl tenglamani emas, balki "o'zgartirilgan" tenglamani tekshirganimiz uchundir.
Bu har doim yechim jarayonida tenglamalarni o'zgartirish xavfi. Afsuski, ko'plab logarifm tenglamalari bilan bu bizning yagona yechim yo'limiz va shuning uchun biz hal qilishga tayyor bo'lishimiz kerak bo'lgan narsadir.