6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
6. Quyidagi tenglamani yeching.
\[{\log _4}\left( { - x} \right) + {\log _4}\left( {6 - x} \right) = 2\]Yechim
Avval shuni ta'kidlaymizki, biz chap tomondagi ikkita logarifmni birlashtira olamiz:
\[{\log _4}\left( { - x\left( {6 - x} \right)} \right) = 2\]2-qadam
Endi biz buni osongina eksponensial shaklga o'tkazishimiz mumkin.
\[ - x\left( {6 - x} \right) = {4^2} = 16\]3-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa 2-bosqichdagi tenglamani yechishdir va bu biz qanday echishni biladigan kvadrat tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*} - x\left( {6 - x} \right) & = 16\\ {x^2} - 6x - 16 & = 0\\ \left( {x - 8} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 8,\,\,\,\,x = - 2\end{align*}\]4-qadam
Yakuniy bosqich sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamlarning har birini olib, nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun ularni muammo bayonotidagi asl tenglamaga qo'shishimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = 8:\)
\[\begin{align*}{\log _4}\left( { - 8} \right) + {\log _4}\left( {6 - 8} \right) & = 2\\ {\log _4}\left( { - 8} \right) + {\log _4}\left( { - 2} \right) & = 2\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{NOT OKAY}}\end{align*}\]\(x = - 2:\)
\[\begin{align*}{\log _4}\left( { - \left( { - 2} \right)} \right) + {\log _4}\left( {6 - \left( { - 2} \right)} \right) & = 2\\ {\log _4}\left( 2 \right) + {\log _4}\left( 8 \right) & = 2\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, yagona raqam logarifmalarda manfiy sonlarni keltirmadi, shuning uchun yagona son yechim bo'ladi. Logarifmada manfiy sonlarni hosil qilgan son yechim emas.
Shuning uchun tenglamaning yagona yechimi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - 2}}\).
Ehtiyot bo'ling, \(x\) qiymati manfiy bo'lgani uchun u avtomatik ravishda tenglamaning yechimi bo'lmaydi va \(x\) qiymati ijobiy bo'lsa, u avtomatik ravishda yechim bo'ladi deb o'ylashdan ehtiyot bo'ling. Bu yerda ko‘rsatganimizdek, \(x\) ning yechimlar bo‘lgan manfiy qiymatlari va \(x\) ning yechim bo‘lmagan ijobiy qiymatlari bo‘lishi mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, dastlabki tenglamada tekshirishni amalga oshirish juda muhimdir. Birinchi bosqichda (bu erda biz ikkita logarifmni birlashtirdik) biz tenglamani o'zgartirdik va jarayonda aslida yechim bo'lmagan raqamni kiritdik.
Agar biz yechim ishida boshqa har qanday tenglamani tekshirganimizda, \(x = 8\) tenglamaning yechimi bo'lishi mumkin edi. Biroq, bu faqat bizdan yechishimiz so'ralgan asl tenglamani emas, balki "o'zgartirilgan" tenglamani tekshirganimiz uchundir.
Bu har doim yechim jarayonida tenglamalarni o'zgartirish xavfi. Afsuski, ko'plab logarifm tenglamalari bilan bu bizning yagona yechim yo'limiz va shuning uchun biz hal qilishga tayyor bo'lishimiz kerak bo'lgan narsadir.