6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
4. Quyidagi tenglamani yeching.
\[{\log _3}\left( {25 - {x^2}} \right) = 2\]Yechim
Agar \({\log _b}x = {\log _b}y\) keyin \(x = y\) degan xususiyatni eslang. Bu erda hech qanday foyda yo'q, chunki tenglamada faqat bitta logarifm mavjud. E'tibor bering, biz o'ng tomonni yozishimiz mumkin, i.e. 2, kabi,
\[2 = {\log _3}\left( {{3^2}} \right)\]Bu tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkinligini anglatadi:
\[{\log _3}\left( {25 - {x^2}} \right) = {\log _3}\left( {{3^2}} \right) = {\log _3}\left( 9 \right)\]Endi bizda ikkita logarifm bor va har bir logarifm teng belgining qarama-qarshi tomonida joylashgan va har birining asosi bir xil, bu holda 3 ga ega. Shuning uchun biz ushbu xususiyatdan har bir tenglikning argumentlarini o'rnatish uchun foydalanishimiz mumkin. Shunday qilib,
\[25 - {x^2} = 9\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 1-bosqichdagi tenglamani yechish va bu biz qanday yechish kerakligini biladigan kvadrat tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}25 - {x^2} & = 9\\ 16 & = {x^2}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt {16} = \pm 4\end{align*}\]3-qadam
Yakuniy bosqich sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamlarning har birini olib, nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun ularni muammo bayonotidagi asl tenglamaga qo'shishimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = - 4:\)
\[\begin{align*}{\log _3}\left( {25 - {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right) & = 2\\ {\log _3}\left( 9 \right) & = 2\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]\(x = 4:\)
\[\begin{align*}{\log _3}\left( {25 - {{\left( 4 \right)}^2}} \right) & = 2\\ {\log _3}\left( 9 \right) & = 2\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, ikkala raqam ham logarifmalarda manfiy sonlarni keltirib chiqarmaydi va shuning uchun ular aslida ikkala yechimdir (har bir muammo bilan sodir bo'lmaydi, shuning uchun har doim ham shunday bo'lishini kutmang!).
Demak, tenglamaning yechimlari quyidagicha bo'ladi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - 4}}\) va \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 4}}\).
\(x\) qiymati manfiy bo'lgani uchun u avtomatik ravishda tenglamaning yechimi bo'lmaydi, deb xato qilishdan ehtiyot bo'ling. Bu erda ko'rsatganimizdek, \(x = - 4\) manfiy bo'lsa ham, u logarifmalarda hech qanday manfiy qiymat bermadi va shuning uchun yechim sifatida to'liq qabul qilinadi.