6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
3. Quyidagi tenglamani yeching.
\[\ln \left( x \right) + \ln \left( {x + 3} \right) = \ln \left( {20 - 5x} \right)\]Yechim
Agar \({\log _b}x = {\log _b}y\) keyin \(x = y\) degan xususiyatni eslang. Bu erda hech qanday foyda yo'q, chunki tenglamada uchta logarifm mavjud. Ammo shuni esda tutingki, biz logarifmlar yig'indisini (har birining koeffitsienti albatta bitta bo'lishini ta'minlaymiz ...) quyidagicha birlashtira olamiz,
\[\ln \left( {x\left( {x + 3} \right)} \right) = \ln \left( {20 - 5x} \right)\]Endi bizda faqat ikkita logarifm bor va har bir logarifm teng belgisining qarama-qarshi tomonida joylashgan va har birida bir xil asos mavjud, bu holda \(\bf{e}\). Shuning uchun biz ushbu xususiyatdan har bir tenglikning argumentlarini o'rnatish uchun foydalanishimiz mumkin. Shunday qilib,
\[x\left( {x + 3} \right) = 20 - 5x\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 1-bosqichdagi tenglamani yechish va bu biz qanday yechish kerakligini biladigan kvadrat tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}x\left( {x + 3} \right) & = 20 - 5x\\ {x^2} + 3x & = 20 - 5x\\ {x^2} + 8x - 20 & = 0\\ \left( {x + 10} \right)\left( {x - 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 10,\,\,\,\,\,x = 2\end{align*}\]3-qadam
Yakuniy bosqich sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamlarning har birini olib, nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun ularni muammo bayonotidagi asl tenglamaga qo'shishimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = - 10:\)
\[\begin{align*}\ln \left( { - 10} \right) + \ln \left( { - 10 + 3} \right) & = \ln \left( {20 - 5\left( { - 10} \right)} \right)\\ \ln \left( { - 10} \right) + \ln \left( { - 7} \right) & = \ln \left( {70} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{NOT}}\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]\(x = 2:\)
\[\begin{align*}\ln \left( 2 \right) + \ln \left( {2 + 3} \right) & = \ln \left( {20 - 5\left( 2 \right)} \right)\\ \ln \left( 2 \right) + \ln \left( 5 \right) & = \ln \left( {10} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, yagona raqam logarifmalarda manfiy sonlarni keltirmadi, shuning uchun yagona son yechim bo'ladi. Logarifmada manfiy sonlarni hosil qilgan son yechim emas.
Shuning uchun tenglamaning yagona yechimi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 2}}\).
Esda tutingki, dastlabki tenglamada tekshirishni amalga oshirish juda muhim. Birinchi bosqichda (bu erda biz ikkita logarifmni birlashtirdik) biz tenglamani o'zgartirdik va jarayonda aslida yechim bo'lmagan raqamni kiritdik.
Agar biz yechim ishida boshqa tenglamani tekshirganimizda, \(x = - 10\) tenglamaning yechimi bo'lishi mumkin edi. Biroq, bu faqat bizdan yechishimiz so'ralgan asl tenglamani emas, balki "o'zgartirilgan" tenglamani tekshirganimiz uchundir.
Bu har doim yechim jarayonida tenglamalarni o'zgartirish xavfi. Afsuski, ko'plab logarifm tenglamalari bilan bu bizning yagona yechim yo'limiz va shuning uchun biz hal qilishga tayyor bo'lishimiz kerak bo'lgan narsadir.