6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
2. Quyidagi tenglamani yeching.
\[\log \left( {6x} \right) - \log \left( {4 - x} \right) = \log \left( 3 \right)\]Yechim
Agar \({\log _b}x = {\log _b}y\) keyin \(x = y\) degan xususiyatni eslang. Bu erda hech qanday foyda yo'q, chunki tenglamada uchta logarifm mavjud. Ammo shuni esda tutingki, biz logarifmlar farqini quyidagicha birlashtira olamiz (har birining koeffitsienti albatta bitta bo'lishini ta'minlaymiz ...)
\[\log \left( {\frac{{6x}}{{4 - x}}} \right) = \log \left( 3 \right)\]Endi bizda faqat ikkita logarifm bor va har bir logarifm teng belgisining qarama-qarshi tomonlarida joylashgan va har birining asosi bir xil, bu holda 10 ga teng. Shuning uchun biz ushbu xususiyatdan har bir tenglikning argumentlarini o'rnatish uchun foydalanishimiz mumkin. Shunday qilib,
\[\frac{{6x}}{{4 - x}} = 3\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 1-bosqichdagi tenglamani yechishdir va bu biz qanday echishni biladigan tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}\frac{{6x}}{{4 - x}} & = 3\\ 6x & = 3\left( {4 - x} \right) = 12 - 3x\\ 9x & = 12\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3}\end{align*}\]3-qadam
Yakuniy qadam sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamni olishimiz va nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun uni muammo bayonotidagi asl tenglamaga ulashimiz kerak!
Mana raqamni tekshirish ishi.
\(x = \frac{4}{3}:\)
\[\begin{align*}\log \left( {6\left( {\frac{4}{3}} \right)} \right) - \log \left( {4 - \frac{4}{3}} \right) & = \log \left( 3 \right)\\ \log \left( 8 \right) - \log \left( {\frac{8}{3}} \right) & = \log \left( 3 \right)\hspace{0.25in}{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, raqam logarifmlarda manfiy sonlarni keltirmadi, shuning uchun bu aslida yechim (har bir muammo bilan bo'lmaydi, shuning uchun har doim ham shunday bo'lishini kutmang!).
Demak, tenglamaning yechimi u holda: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = \frac{4}{3}}}\).