6.4-bo'lim : Logarifm tenglamalarini yechish
1. Quyidagi tenglamani yeching.
\[{\log _4}\left( {{x^2} - 2x} \right) = {\log _4}\left( {5x - 12} \right)\]Yechim
Agar \({\log _b}x = {\log _b}y\) keyin \(x = y\) degan xususiyatni eslang. Har bir logarifm tenglik belgisining qarama-qarshi tomonida joylashganligi va ularning har biri bir xil asosga ega bo'lganligi sababli, bu holda biz bu xususiyatdan har bir tenglikning argumentlarini o'rnatishimiz mumkin. Shunday qilib,
\[{x^2} - 2x = 5x - 12\]2-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 1-bosqichdagi tenglamani yechish va bu biz qanday yechish kerakligini biladigan kvadrat tenglama. Mana yechim ishi.
\[\begin{align*}{x^2} - 2x & = 5x - 12\\ {x^2} - 7x + 12 & = 0\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 3,\,\,\,\,x = 4\end{align*}\]3-qadam
Yakuniy bosqich sifatida biz yuqoridagi bosqichdagi raqamlarning har birini olib, nol yoki manfiy sonlarning logarifmini qabul qilmasligimiz uchun ularni muammo bayonotidagi asl tenglamaga qo'shishimiz kerak!
Bu erda raqamlarning har biri uchun tekshirish ishi.
\(x = 3:\)
\[\begin{align*}{\log _4}\left( {{{\left( 3 \right)}^2} - 2\left( 3 \right)} \right) & = {\log _4}\left( {5\left( 3 \right) - 12} \right)\\ {\log _4}\left( 3 \right) & = {\log _4}\left( 3 \right)\hspace{0.25in}{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]\(x = 4:\)
\[\begin{align*}{\log _4}\left( {{{\left( 4 \right)}^2} - 2\left( 4 \right)} \right) & = {\log _4}\left( {5\left( 4 \right) - 12} \right)\\ {\log _4}\left( 8 \right) & = {\log _4}\left( 8 \right)\hspace{0.25in}{\mbox{OKAY}}\end{align*}\]Bunday holda, ikkala raqam ham logarifmalarda manfiy sonlarni keltirib chiqarmaydi va shuning uchun ular aslida ikkala yechimdir (har bir muammo bilan sodir bo'lmaydi, shuning uchun har doim ham shunday bo'lishini kutmang!).
Demak, tenglamaning yechimlari u holda: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 3}}\) va \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 4}}\).