6.3-bo'lim : Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish
9. Quyidagi tenglamani yeching.
\[{{\bf{e}}^{4 - 7x}} + 11 = 20\]Yechim
Bu masalaga biron bir logarifm qo'yishdan oldin, birinchi navbatda, bir tomondan eksponensialni olishimiz kerak, shuning uchun avval buni qilaylik.
\[{{\bf{e}}^{4 - 7x}} = 9\]2-qadam
Endi biz ikkala tomonning logarifmini olishimiz mumkin va bu muammoda bizda \(\bf{e}\) asosi borligi sababli, tabiiy logarifm eng yaxshi tanlovdir. Shunday qilib, ikkala tomonning logarifmini (tabiiy logarifmdan foydalangan holda) olish,
\[\ln {{\bf{e}}^{4 - 7x}} = \ln 9\]3-qadam
Endi biz logarifm xususiyatidan foydalanishimiz mumkin:
\[\ln {{\bf{e}}^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\]tenglamaning chap tomonini soddalashtirish uchun. Shunday qilib,
\[4 - 7x = \ln 9\]4-qadam
Va nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(x\) ni hal qilishdir. Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichdagi tenglamalar biz ko'rganimizdan ko'ra chalkashroq ko'rinadi. Biroq, bu nuqtadagi tenglamalardagi logarifmlar shunchaki raqamlardir va shuning uchun biz barcha raqamlarni ushbu turdagi tenglamalar bilan ko'rib chiqayotganimizdek, ularni ko'rib chiqamiz. Ish biz o'rganganimizdan ko'ra chalkash bo'ladi, lekin shuni yodda tutingki, logarifmlar shunchaki raqamlardir!
Mana, bu muammo uchun ishning qolgan qismi.
\[\begin{align*}4 - 7x & = \ln 9\\ - 7x & = \ln 9 - 4\\ x & = \frac{{\ln 9 - 4}}{{ - 7}} = \frac{{2.197224577 - 4}}{{ - 7}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{0.2575393461}}\end{align*}\]Shunga qaramay, ish biz o'rganganimizdan ko'ra chalkashroq, lekin u tenglamalarni echishda ilgari qilgan ishimizdan unchalik farq qilmaydi. Javob, shuningdek, bu o'nli kasr bo'lib, deyarli har doim bunday muammolarning aksariyati uchun o'nli kasr bo'lishi kerak, shuning uchun tashvishlanmang.
Bundan tashqari, yakuniy javobda suratni baholashda ehtiyot bo'ling. 4 logarifmdan tashqarida edi va shuning uchun logarifmga o'tkazib bo'lmaydi. Biz, ehtimol, qavslar bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz va javobni quyidagicha yozishimiz kerak edi:
\[x = \frac{{\ln \left( 9 \right) - 4}}{{ - 7}}\]bu 4 ning logarifm ichida emasligini biroz aniqroq qiladi. Biroq, biz odatda logarifma faqat raqam bo'lsa, qavs qo'ymaymiz.