6.3-bo'lim : Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish
6. Quyidagi tenglamani yeching.
\[{7^{1 - x}} = {4^{3x + 1}}\]Yechim
Ushbu tenglama uchun ikkala tomonni bir xil asos bilan osongina olishning hech qanday usuli yo'q. Shuning uchun biz ikkala tomonning logarifmini olishimiz kerak.
Biz har qanday logarifmdan foydalanishimiz mumkin va tabiiy logarifm va umumiy logarifm odatda yaxshi tanlovdir, chunki ko'pchilik kalkulyatorlar ularni boshqarishi mumkin. Bunday holda, bir yoki boshqasini ishlatish uchun hech qanday sabab yo'q, shuning uchun biz tabiiy logarifmadan foydalanamiz (ikkita harfni yozish osonroq - ln uchta harfga nisbatan - log ...).
Ikkala tomonning logarifmini (tabiiy logarifmdan foydalangan holda) olish,
\[\ln {7^{1 - x}} = \ln {4^{3x + 1}}\]2-qadam
Endi biz logarifm xususiyatidan foydalanishimiz mumkin:
\[{\log _b}{x^r} = r{\log _b}x\]logarifmlarning har biridan ko'rsatkichlarni ko'chirish uchun. Shunday qilib,
\[\left( {1 - x} \right)\ln 7 = \left( {3x + 1} \right)\ln 4\]3-qadam
Va nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(x\) ni hal qilishdir. Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichdagi tenglamalar biz ko'rganimizdan ko'ra chalkashroq ko'rinadi. Biroq, bu nuqtadagi tenglamalardagi logarifmlar shunchaki raqamlardir va shuning uchun biz barcha raqamlarni ushbu turdagi tenglamalar bilan ko'rib chiqayotganimizdek, ularni ko'rib chiqamiz. Ish biz o'rganganimizdan ko'ra chalkash bo'ladi, lekin shuni yodda tutingki, logarifmlar shunchaki raqamlardir!
Mana, bu muammo uchun ishning qolgan qismi.
\[\begin{align*}\left( {1 - x} \right)\ln 7 & = \left( {3x + 1} \right)\ln 4\\ \ln 7 - x\ln 7 & = 3x\ln 4 + \ln 4\\ \ln 7 - \ln 4 & = 3x\ln 4 + x\ln 7\\ \ln 7 - \ln 4 & = \left( {3\ln 4 + \ln 7} \right)x\\ x & = \frac{{\ln 7 - \ln 4}}{{3\ln 4 + \ln 7}} = \frac{{1.945910149 - 1.386294361}}{{3\left( {1.386294361} \right) + 1.945910149}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{0.091668262}}\end{align*}\]Shunga qaramay, ish biz o'rganganimizdan ko'ra chalkashroq, lekin u tenglamalarni echishda ilgari qilgan ishimizdan unchalik farq qilmaydi. Javob, shuningdek, bu o'nli kasr bo'lib, deyarli har doim bunday muammolarning aksariyati uchun o'nli kasr bo'lishi kerak, shuning uchun tashvishlanmang.