2.14-bo'lim : Mutlaq qiymat tenglamalari
6. Tenglamaning barcha haqiqiy baholi yechimlarini toping.
\[\left| {{x^2} + 2x} \right| = 15\]Yechim
Shu nuqtaga qadar biz faqat mutlaq qiymatlar satrida chiziqli atamalarga ega bo'lgan muammolarni ishladik. Bu holda biz mutlaq qiymat satrlarida kvadratikga egamiz. Biroq, bu muammoning qanday ishlashini o'zgartirmaydi. Biz buni avvalgi muammolar kabi ishlaymiz.
Ushbu bo'limdagi formulani qo'llash,
\[{x^2} + 2x = - 15\hspace{0.25in}{\mbox{or}}\hspace{0.25in}{x^2} + 2x = 15\]2-qadam
Bu masalani hal qilish uchun oldingi bosqichda olingan kvadrat tenglamalarning har birini yechishimiz kifoya.
Mana, yuqorida keltirilgan birinchisining yechimi.
\[\begin{align*}{x^2} + 2x & = - 15\\ {x^2} + 2x + 15 & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 4\left( 1 \right)\left( {15} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {56} \,i}}{2}\end{align*}\]E'tibor bering, ko'rsatmalar "haqiqiy baholi echimlar”. Bu, asosan, biz murakkab echimlarni xohlamasligimizni anglatadi va birinchi kvadratning echimlari aniq murakkab va shuning uchun biz ularni yechimimizda ishlatmaymiz.
Ikkinchi kvadratning yechimi:
\[\begin{align*}{x^2} + 2x - 15 & = 0\\ \left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 5,\,\,\,x = 3\end{align*}\]Bularning ikkalasi ham haqiqiy echimlar va shuning uchun maqbul echimlardir.
Shunday qilib, dastlabki tenglamaning ikkita yechimi quyidagicha bo'ladi: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - 5\,\,\,\,\,{\mbox{and}}\,\,\,\,\,x = 3}}\) .