2.9-bo'lim : Shaklda kvadratga tushiriladigan tenglamalar
4. Quyidagi tenglamani yeching.
\[{x^{10}} - 6{x^5} + 7 = 0\]Yechim
Birinchidan, \(10 = 2\left( 5 \right)\) va shuning uchun tenglamani kvadrat tenglamaga kamaytirish uchun quyidagi almashtirishdan foydalanishimiz mumkinligiga e'tibor bering.
\[u = {x^5}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{u^2} = {\left( {{x^5}} \right)^2} = {x^{10}}\]2-qadam
Ushbu almashtirishdan foydalanib, tenglama quyidagicha bo'ladi:
\[{u^2} - 6u + 7 = 0\]Endi bu tenglama omil bo'lmaydi. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, lekin baxtimizga, baribir buni qanday hal qilishni bilamiz. Bu tenglamaning yechimlarini topish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kifoya.
\[u = \frac{{ - \left( { - 6} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( 7 \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{6 \pm \sqrt 8 }}{2} = \frac{{6 \pm 2\sqrt 2 }}{2} = 3 \pm \sqrt 2 \]Bu yerdagi "tartibsiz" raqamlardan hayajonlanmang! Bunday echimlar vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi va biz ular bilan shug'ullanishimiz kerak. Shuni yodda tutingki, ular biz ko'rgan butun sonlar bo'lmasa ham, shunchaki raqamlardir!
3-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, dastlabki tenglamaning echimini aniqlash uchun birinchi bosqichdan boshlab almashtirishimizdan foydalanishdir.
\[u = 3 + \sqrt 2 :\hspace{0.25in}{x^5} = 3 + \sqrt 2 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = {\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {4.4142} \right)^{\frac{1}{5}}} = 1.3458\] \[u = 3 - \sqrt 2 :\hspace{0.25in}{x^5} = 3 - \sqrt 2 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {1.5858} \right)^{\frac{1}{5}}} = 1.0966\]Shuning uchun asl tenglamaning ikkita yechimi: \[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = 1.0966\,\,{\mbox{and }}x = 1.3458}}\].