2.8-bo'lim : Kvadrat tenglamalarni qo'llash
2. Ikkita mashina bir joyda harakatlanadi. Bir mashina shimolga 40 milya tezlikda yura boshlaydi va 3 soatdan keyin ikkinchi mashina sharqqa 60 milya tezlikda harakatlana boshlaydi. Birinchi mashina hayda boshlaganidan keyin ikki mashina bir-biridan 500 milya masofada bo'lishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
Yechim
Keling, ushbu muammoni A avtomobilini soatiga 40 milya tezlikda yuradigan mashina deb belgilashdan boshlaylik va B mashinasini soatiga 60 milya tezlikda harakatlantiruvchi mashinadir. Keling ham ruxsat beraylik t A avtomobili boshqarayotgan vaqt bo'lsin. Muammo bayonotidan bilamizki, B avtomobili 3 soatda ishlaydi keyin A mashinasi va shunga o'xshash mashina A mashinasiga qaraganda 3 soat kamroq haydaydi. Bu \(t - 3\) avtomobil B haydash vaqti ekanligini anglatadi.
2-qadam
Keyinchalik, ushbu holat uchun eskizni o'rnatamiz.
3-qadam
Mayli. Endi bu holat uchun tenglamani olishimiz kerak. Bizning eskizimizga e'tibor beradigan birinchi narsa - bizda to'g'ri burchakli uchburchak bor! Bu Pifagor teoremasidan foydalanib, biz barcha uch uzunlikni bog'lashimiz mumkinligini anglatadi (bu eskizga ega bo'lishning sabablaridan biri - bunday narsalarni ko'rish).
Pifagor teoremasi bizga shunday deydi:
\[{\left( \begin{array}{c}{\mbox{Distance}}\\ {\mbox{Car A drives}}\end{array} \right)^2} + {\left( \begin{array}{c}{\mbox{Distance}}\\ {\mbox{Car B drives}}\end{array} \right)^2} = {\left( {500} \right)^2} = 250,000\]4-qadam
Keyinchalik, formuladan foydalanib, har bir mashinaning masofasini topishimiz mumkinligini bilamiz,
\[{\mbox{Distance}} = \left( {{\mbox{Speed of Car}}} \right)\left( {{\mbox{Time driving}}} \right)\]Shunday qilib, bizda har bir mashina uchun,
\[\begin{array}{l}{\mbox{Distance of Car A}} = \left( {40} \right)\left( t \right) = 40t\\ {\mbox{Distance of Car B}} = \left( {60} \right)\left( {t - 3} \right) = 60\left( {t - 3} \right)\end{array}\]Bularning barchasini 3-bosqichda yozgan "so'z tenglamasi" ga qo'yib, biz quyidagi tenglamani olamiz.
\[\begin{array}{rl}{\left( {40t} \right)^2} + {\left( {60\left( {t - 3} \right)} \right)^2} & = 250,000\\{40^2}{t^2} + {60^2}{\left( {t - 3} \right)^2} & = 250,000\\ 1600{t^2} + 3600\left( {{t^2} - 6t + 9} \right) & = 250,000\\ 1600{t^2} + 3600{t^2} - 21,600t + 32,400 & = 250,000\\5200{t^2} - 21,600t - 217,600 & = 0\end{array}\]Shuni ham yodda tutingki, biz tenglamani standart shaklga keltirish uchun biroz soddalashtirdik. Bundan tashqari, bu erda "katta" raqamlardan hayajonlanmang! Ular vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, shuning uchun tashvishlanadigan hech narsa yo'q. Bu hali ham kvadrat va biz kvadrat tenglamalarni qanday echishni bilamiz. Raqamlar bu erda bo'lgani uchun sezilarli darajada kattaroq raqamlarning bir xonali raqamlari bo'lishi muhim emas.
5-qadam
Oldingi bosqichda ta'kidlanganidek, bu faqat kvadrat tenglama va biz ularni qanday hal qilishni bilamiz! Kvadrat formuladan foydalanib,
\[t = \frac{{ - \left( { - 21,600} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 21,600} \right)}^2} - 4\left( {5200} \right)\left( { - 217,600} \right)} }}{{2\left( {5200} \right)}} = \frac{{21,600 \pm \sqrt {4,992,640,000} }}{{10,400}}\]6-qadam
Oldingi bosqichlarda olingan ikkita qiymatni o'nli kasrlarga qisqartirish orqali biz 4-bosqichdagi kvadrat tenglamaning quyidagi ikkita yechimiga erishamiz.
\[t = \frac{{21,600 - \sqrt {4,992,640,000} }}{{10,400}} = - 4.7172\hspace{0.25in}t = \frac{{21,600 + \sqrt {4,992,640,000} }}{{10,400}} = 8.8710\]Tenglamaning birinchi yechimi hech qanday ma'noga ega emas, chunki u salbiy (biz vaqt bilan ishlayapmiz va shuning uchun biz \(t = 0\) dan boshlaymiz deb taxmin qilish xavfsiz!), demak, ikkinchisi bizga kerak bo'lgan javobdir.
Bu shuni anglatadiki, avtomobil A (i.e. 40 mil/soat tezlikda yurgan kishi 8,871 soat yuradi, B mashinasi esa (i.e. 60 mil / soat tezlikda sayohat qilgan kishi 5,871 soat (Avtomobil A vaqtidan uch soat kam!)