7.5-bo'lim : Nochiziqli tizimlar
4. Quyidagi tenglamalar sistemasining yechimini toping.
\[\begin{align*}y & = 1 - 2{x^2}\\ {x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} & = 1\end{align*}\]Yechim
Yechimga juda uzoqqa kirishdan oldin, birinchi navbatda, bularni hal qilishning yagona to'g'ri yo'li yo'qligini ta'kidlashimiz kerak. Ushbu turdagi muammolarning ko'pchiligi yechim topish uchun bir nechta yo'llarga ega bo'ladi. Biroq, qanday yo'l tutishimizdan qat'i nazar, tizimga yechim bir xil bo'ladi.
OK, muammoga o'tamiz. Bu holda birinchi tenglama "\(y\) =" ko'rinishida bo'ladi va shuning uchun biz buni to'g'ridan-to'g'ri ikkinchi tenglamaga ulashimiz mumkin. Shunday qilib,
\[{x^2} - \frac{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^2}}}{9} = 1\]Birinchi tenglamani ulashda qavsdan ehtiyot bo'ling. Bizda \({y^2}\) bor edi, shuning uchun biz uni ulaganimizda birinchi tenglamani hosil qilgan \(y\) ning kvadratiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
2-qadam
Endi, bu faqat kvadrat tenglama (bu biroz soddalashtirishni talab qiladi) va shu nuqtada biz buni hal qilishimiz kerak, shuning uchun kvadrat uchun yechim ishidir.
\[\begin{align*}{x^2} - \frac{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^2}}}{9} & = 1\\ {x^2} - \frac{1}{9}\left( {1 - 4{x^2} + 4{x^4}} \right) - 1 & = 0\\ - \frac{4}{9}{x^4} + \frac{{13}}{9}{x^2} - \frac{{10}}{9} & = 0\\ 4{x^4} - 13{x^2} + 10 & = 0\end{align*}\]Oxirgi bosqichda biz maxrajlarni tozalash va \({x^4}\) atamasidagi minus belgisini yo'q qilish uchun -9 ga ko'paytirdik.
3-qadam
Bu kvadratik shaklga ega, shuning uchun biz \(u = {x^2}\) (va shunga o'xshash \({u^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}\)) ni aniqlashimiz mumkin. Ushbu almashtirishdan foydalanib, tenglama quyidagicha bo'ladi:
\[\begin{align*}4{u^2} - 13u + 10 & = 0\\ \left( {4u - 5} \right)\left( {u - 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}u = \frac{5}{4},\,\,\,\,\,\,u = 2\end{align*}\]4-qadam
Shunday qilib, biz \(u\) ning ikkita qiymatini oldik va ularning har biri \(y\) nuqtai nazaridan quyidagi tenglamaga mos keladi (i.e. yuqoridagi almashtirish yordamida).
\[\begin{align*} & u = \frac{5}{4}\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\,{x^2} = \frac{5}{4} & \to \hspace{0.25in}x = \frac{{ \pm \sqrt 5 }}{2}\\ & u = 2\,\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\,{x^2} = 2& \to \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt 2 \end{align*}\]
5-qadam
Bizda \(x\) ning to'rtta qiymati bor, ular uchun \(y\) ning mos qiymatlarini topishimiz kerak. Biz ularni birinchi tenglamaga qo'shamiz (bu tenglamani qo'shish ancha oson).
\(\begin{align*} & x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,:\,\,\,\,y = 1 - 2{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = - \frac{3}{2} & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}, - \frac{3}{2}} \right)\\ & x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,:\,\,\,\,y = 1 - 2{\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = - \frac{3}{2} & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}, - \frac{3}{2}} \right)\\ & x = \sqrt 2 \,\,\,\,:\,\,\,\,y = 1 - 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = - 3 & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \left( {\sqrt 2 , - 3} \right)\\ & x = - \sqrt 2 \,\,\,\,:\,\,\,\,y = 1 - 2{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} = - 3 & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \left( { - \sqrt 2 , - 3} \right)\end{align*}\)Shunday qilib, ushbu tenglamalar sistemasi uchun yuqorida sanab o'tilgan to'rtta yechim mavjud.
E'tibor bering, ushbu tizim bilan biz ham potentsial muammoga duch keldik. Biz \(x\)-ni parabolaga ulab mos \(y\)-larni topdik. Agar biz ularni giperbolaga kiritganimizda nima bo'lar edi?
Misol sifatida \(x = \sqrt 2 \) dan foydalanamiz, chunki ishni bajarish biroz osonroq bo'ladi. Buni giperbola uchun tenglamaga kiritish,
\[{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,2 - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,{y^2} = 9\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,y = \pm 3\]Bu biz yuqorida topgan yagona yechim emas, balki \(x = \sqrt 2 \) ga mos keladigan ikkita yechim bo'lishi kerakligini anglatadi! Xo'sh, qaysi biri to'g'ri? Shuni esda tutingki, biz qanday yechim topsak, qanoatlantirishimiz kerak ikkalasi ham tenglamalar va \(x = \sqrt 2 \) dan foydalanilganda \(y\) qiymatlaridan faqat bittasi parabolani qondiradi. Shuning uchun, biz paraboladan olgan yagona yechim. \(x\) ning boshqa qiymatlari bilan ham xuddi shunday muammoga duch kelamiz.
Muammo parabolani giperbolaga ulab, kvadratga aylantirganimizda paydo bo'ldi. Uni kvadratlashtirish jarayoni potentsial "yomon" echimlarni taqdim etdi. Biz bir necha bobda radikallar bilan tenglamalarni yechganimizda shunga o'xshash masalalarni ko'rdik va muammo xuddi shu sababga ko'ra paydo bo'ldi, biz nimanidir kvadratga aylantirdik.
Biroq, bu muammolarning yoqimli tomoni shundaki, agar biz ikkinchi qiymatlarni topish uchun ulangan tenglamadan (bu holda parabola) foydalansak, biz "yomon" echimlar haqida tashvishlanishga hojat yo'q, chunki ular faqat biz kiritgan tenglamadan kelib chiqadi (bu holda giperbola).
Bu, aslida, mos keladigan \(y\) ni topish uchun paraboladan foydalanganimizning haqiqiy sababi, garchi bu ikkita tenglamadan foydalanish osonroq bo'lsa ham.