7.5-bo'lim : Nochiziqli tizimlar
2. Quyidagi tenglamalar sistemasining yechimini toping.
\[\begin{align*}y & = 1 - 3x\\ \frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} & = 1\end{align*}\]Yechim
Yechimga juda uzoqqa kirishdan oldin, birinchi navbatda, bularni hal qilishning yagona to'g'ri yo'li yo'qligini ta'kidlashimiz kerak. Ushbu turdagi muammolarning ko'pchiligi yechim topish uchun bir nechta yo'llarga ega bo'ladi. Biroq, qanday yo'l tutishimizdan qat'i nazar, tizimga yechim bir xil bo'ladi.
OK, muammoga o'tamiz. Bu holda birinchi tenglama "\(y\) =" ko'rinishida bo'ladi va shuning uchun biz buni to'g'ridan-to'g'ri ikkinchi tenglamaga ulashimiz mumkin. Shunday qilib,
\[\frac{{{x^2}}}{4} + {\left( {1 - 3x} \right)^2} = 1\]Birinchi tenglamani ulashda qavsdan ehtiyot bo'ling. Bizda \({y^2}\) bor edi, shuning uchun biz uni ulaganimizda birinchi tenglamani hosil qilgan \(y\) ning kvadratiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
2-qadam
Endi, bu faqat kvadrat tenglama (bu biroz soddalashtirishni talab qiladi) va shu nuqtada biz buni hal qilishimiz kerak, shuning uchun kvadrat uchun yechim ishidir.
\[\begin{align*}\frac{{{x^2}}}{4} + {\left( {1 - 3x} \right)^2} & = 1\\ \frac{{{x^2}}}{4} + 1 - 6x + 9{x^2} - 1 & = 0\\ \frac{{37}}{4}{x^2} - 6x & = 0\\ x\left( {\frac{{37}}{4}x - 6} \right) & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 0,\,\,\,\,\,\,\frac{{37}}{4}x - 6 = 0\end{align*}\]Bundan biz yechimimiz uchun \(x\) ning ikkita qiymatini ko'ramiz: \(x = 0\) va \(x = \frac{{24}}{{37}}\).
3-qadam
Endi bizda \(x\) ning ikkita qiymati bor va shuning uchun har bir \(x\) uchun \(y\) ning mos qiymatlarini aniqlash uchun dastlabki tenglamalardan biriga (chiziq osonroq bo‘lardi) ulanishimiz kifoya.
\[\begin{align*} & x = 0\,\,\,\,:\,\,\,\,y = 1 - 3\left( 0 \right) = 1 & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \left( {0,1} \right)\\ & x = \frac{{24}}{{37}}\,\,:\,\,\,\,y = 1 - 3\left( {\frac{{24}}{{37}}} \right) = - \frac{{35}}{{37}} & \Rightarrow \hspace{0.25in} & \left( {\frac{{24}}{{37}}, - \frac{{35}}{{37}}} \right)\end{align*}\]
E'tibor bering, ushbu tizim bilan biz ham potentsial muammoga duch keldik. Biz \(x\)-ni liniyaga ulab, tegishli \(y\)-larni topdik. Agar biz ularni ellipsga ulagan bo'lsak-chi?
Misol sifatida \(x = 0\) dan foydalanamiz, chunki ishni bajarish biroz osonroq bo'ladi. Buni ellips uchun tenglamaga kiritish,
\[\frac{{{{\left( 0 \right)}^2}}}{4} + {y^2} = 1\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,{y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,y = \pm 1\]Bu biz yuqorida topgan yagona yechim emas, balki \(x = 0\) ga mos keladigan ikkita yechim bo'lishi kerakligini anglatadi! Xo'sh, qaysi biri to'g'ri? Shuni esda tutingki, biz qanday yechim topsak, qanoatlantirishimiz kerak ikkalasi ham tenglamalar va \(y\) qiymatlaridan faqat bittasi \(x = 0\) dan foydalanganda chiziqni qondiradi. Shuning uchun, yagona yechim - biz chiziqdan olganimiz. \(x\) ning ikkinchi qiymati bilan ham xuddi shunday muammoga duch kelamiz.
Muammo chiziqni ellipsga ulab, kvadratga aylantirganimizda paydo bo'ldi. Uni kvadratlashtirish jarayoni potentsial "yomon" echimlarni taqdim etdi. Biz bir necha bobda radikallar bilan tenglamalarni yechganimizda shunga o'xshash masalalarni ko'rdik va muammo xuddi shu sababga ko'ra paydo bo'ldi, biz nimanidir kvadratga aylantirdik.
Biroq, bu muammolarning yoqimli tomoni shundaki, agar biz ikkinchi qiymatlarni topish uchun ulangan tenglamadan (bu holda chiziq) foydalansak, biz "yomon" echimlar haqida tashvishlanishga hojat yo'q, chunki ular faqat biz kiritgan tenglamadan kelib chiqadi (bu holda ellips).
Bu, aslida, biz mos keladigan \(y\) ni topish uchun chiziqdan foydalanganimizning haqiqiy sababi, garchi bu ikkita tenglamadan foydalanish osonroq bo'lsa ham.
Shunday qilib, ushbu tenglamalar sistemasi uchun ikkita yechim mavjud: \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\left( {0,1} \right)}}\) va \(\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\left( {\frac{{24}}{{37}}, - \frac{{35}}{{37}}} \right)}}\).