6.2-bo'lim : Logarifm funktsiyalari
17. \(3\ln \left( {t + 5} \right) - 4\ln t - 2\ln \left( {s - 1} \right)\) ni bitta koeffitsientli bitta logarifmaga birlashtiring.
Yechim
Buni bitta logarifmaga aylantirish uchun biz logarifmlarni teskari yo'nalishda ajratish uchun ishlatgan xususiyatlardan foydalanamiz. Ushbu jarayondagi birinchi qadam mulkdan foydalanish,
\[{\log _b}\left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}x\]barcha logarifmlar bitta koeffitsientga ega ekanligiga ishonch hosil qilish. Buni birinchi navbatda qilish kerak, chunki logarifmlarning yig'indisini/farqlarini birlashtirishga imkon beradigan barcha xususiyatlar alohida logarifmlarda bitta koeffitsientni talab qiladi. Shunday qilib, ushbu xususiyatdan foydalanish,
\[\ln {\left( {t + 5} \right)^3} - \ln \left( {{t^4}} \right) - \ln {\left( {s - 1} \right)^2}\]2-qadam
Endi bu nuqtadan chiqishning bir necha yo'li mavjud. Biz ikkita xususiyatdan birini ishlatishimiz mumkin.
\[{\log _b}\left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\log _b}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _b}x - {\log _b}y\]va aslida biz oxirida ikkalasini ham ishlatishimiz kerak bo'ladi.
Biz bu erda ikkita minus belgisi mavjudligidan ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki bu ba'zida muammoni chalkashtirib yuboradi. Ularni hal qilish oson, ammo agar oxirgi ikki shartdan minus belgisini hisobga olsak,
\[3\ln \left( {t + 5} \right) - 4\ln t - 2\ln \left( {s - 1} \right) = \ln {\left( {t + 5} \right)^3} - \left( {\ln \left( {{t^4}} \right) + \ln {{\left( {s - 1} \right)}^2}} \right)\]Ushbu shaklda yozilsa, biz oxirgi ikki logarifm yig'indi ekanligini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun mahsulot xususiyatidan foydalanib, ularni birlashtirib olamiz:
\[3\ln \left( {t + 5} \right) - 4\ln t - 2\ln \left( {s - 1} \right) = \ln {\left( {t + 5} \right)^3} - \ln \left( {{t^4}{{\left( {s - 1} \right)}^2}} \right)\]3-qadam
Endi bizda ikkita logarifm farqi bor va biz ularni birlashtirish uchun quotient xususiyatidan foydalanishimiz mumkin,
\[3\ln \left( {t + 5} \right) - 4\ln t - 2\ln \left( {s - 1} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\ln \left[ {\frac{{{{\left( {t + 5} \right)}^3}}}{{{t^4}{{\left( {s - 1} \right)}^2}}}} \right]}}\]