6.2-bo'lim : Logarifm funktsiyalari
16. \(2{\log _4}x + 5{\log _4}y - \frac{1}{2}{\log _4}z\) ni bitta koeffitsientli bitta logarifmaga birlashtiring.
Yechim
Buni bitta logarifmaga aylantirish uchun biz logarifmlarni teskari yo'nalishda ajratish uchun ishlatgan xususiyatlardan foydalanamiz. Ushbu jarayondagi birinchi qadam mulkdan foydalanish,
\[{\log _b}\left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}x\]barcha logarifmlar bitta koeffitsientga ega ekanligiga ishonch hosil qilish. Buni birinchi navbatda qilish kerak, chunki logarifmlarning yig'indisini/farqlarini birlashtirishga imkon beradigan barcha xususiyatlar alohida logarifmlarda bitta koeffitsientni talab qiladi. Shunday qilib, ushbu xususiyatdan foydalanish,
\[{\log _4}\left( {{x^2}} \right) + {\log _4}\left( {{y^5}} \right) - {\log _4}\left( {{z^{\frac{1}{2}}}} \right)\]2-qadam
Endi bu nuqtadan chiqishning bir necha yo'li mavjud. Biz ikkita xususiyatdan birini ishlatishimiz mumkin.
\[{\log _b}\left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\log _b}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _b}x - {\log _b}y\]va aslida biz oxirida ikkalasini ham ishlatishimiz kerak bo'ladi. Birinchi ikkita logarifmda mahsulot xossasidan (chunki ular logarifmlar yig‘indisi) yoki oxirgi ikki logarifmda bo‘linish xususiyatidan (chunki ular logarifmlarning farqi) foydalanishimiz mumkin.
Qaysi biri birinchi bo'lib qo'llanilishi muhim emas, chunki oxirida biz bir xil natijaga erishamiz. Ushbu muammolarni hal qilish uchun biz birinchi ikkita logarifmdagi mahsulot xususiyatidan foydalanamiz,
\[2{\log _4}x + 5{\log _4}y - \frac{1}{2}{\log _4}z = {\log _4}\left( {{x^2}{y^5}} \right) - {\log _4}\left( {\sqrt z } \right)\]3-qadam
Va nihoyat, bizda ikkita logarifm farqi qolganligini ko'ramiz va shuning uchun biz ularni birlashtirish uchun quotient xususiyatidan foydalanamiz,
\[2{\log _4}x + 5{\log _4}y - \frac{1}{2}{\log _4}z = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{{\log }_4}\left( {\frac{{{x^2}{y^5}}}{{\sqrt z }}} \right)}}\]E'tibor bering, kasr ko'rsatkichini ildizga o'tkazishimizning yagona sababi yakuniy javobni biroz chiroyli qilish edi.